Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Oi pessoal, >Algum de voces jah estudou, quanto a convergencia, series do tipo Soma( n=1, >oo)(1/p_n)^k, sendo p_n o n_gesimo primo positivo e k>=1 um real? Eu sei que >para k=1 a serie diverge. Alguem poderia dar uma sugestao de como podemos >provar isto?
Uma forma de fazer isso é supondo que a série converge. Se isso ocorre, então existe um k inteiro positivo tal que Soma( n=k+1, oo)(1/p_n) < 1/2. Seja Q = p_1*...*p_k o produto dos k primeiros primos, e considere números da forma 1 + m*Q, onde m = 1, 2, ... . Claramente, todo fator primo desses números está entre os primos p_(k+1), p_(k+2), ... . Logo, para cada r >= 1, temos Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) <= Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t , visto que a soma à direita inclui entre seus termos todos os termos da esquerda. Mas da observação feita no início, Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t <= Soma(t=1, oo)(1/2)^t = 2 e portanto Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) converge. Mas integral(1, A)(1/(1 + x*Q))dx = (1/Q)*log(1 + A*Q) - (1/Q)*log(1 + Q) -> oo quando A -> oo. Logo, pelo teste da integral, este somatório deveria divergir, o que gera a nossa desejada contradição. Eu não estou certo quanto a isso, mas acho que há uma demonstração combinatória desse resultado... []s, Daniel ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
