Obrigado pela an�lise prof. Nicolau !
Vou pensar um pouco e ver se tenho uma luz.
At� mais.
> On Wed, Nov 24, 2004 at 12:00:15AM -0200, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
> > Ol� pessoal!
> >
> > Criei um m�todo num�rico (M�todo Mello) para o c�lculo de ra�zes de fun��es
> > reais, com uma vari�vel real...
>
> Estou cortando partes para comentar.
>
> ...
> > O resumo do m�todo � o seguinte:
> >
> > M�todo num�rico iterativo para determina��o de ra�zes reais de fun��es reais.
> > O m�todo se baseia em tra�ar circunfer�ncias com centro em (x0,f(x0)) e raio
> > f(x0), sendo x0 um valor inicial dado, e tomar uma das intersec��es da
> > circunfer�ncia com a fun��o como sendo o valor x1, e assim iterativamente at�
> > que xn, resultado da n-�sima itera��o, possa ser admitido como aproxima��o
> > para o valor da raiz.
>
> A pergunta principal para mim �: como voc� vai encontrar a interse��o
> do gr�fico de f com a circunfer�ncia? Isto deve ser pelo menos t�o dif�cil
> quanto encontrar a interse��o do gr�fico com uma reta, por exemplo o eixo x,
> mas este � o problema original que o algoritmo todo tenta resolver.
>
> ...
>
> > Tendo definido a circunfer�ncia C, sua equa��o �:
> > (x_0-x_1)^2+(f(x-0)-f(x_1))^2=[f(x_0)]^2 (i)
> >
> > Usando Aproxima��o de Taylor f(x)= S[n=0;+inf]f{n}(x_0).(x-x_0)^n/n! ({n}
> > indica ordem n para a derivada de f)utilizo so as duas primeiras parcelas
> > desta formula: f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0).(x_1-x_0) (ii)
> >
> > Substituindo ii em i chego � equa��o geral dos x_k's do metodo: x_(k+1)=x_k
> > + 'ou' - sqrt[(f(x_k))^2/(1+(f'(x_k))^2)] (iii)
>
> Se eu bem entendi esta passagem, voc� resolve a dificuldade acima
> encontrando n�o a interse��o do gr�fico com a circunfer�ncia e sim
> a interse��o da reta tangente com a circunfer�ncia.
> Assim o seu m�todo � uma varia��o do m�todo de Newton
> e para que ele seja de interesse voc� deveria apontar
> algum ponto de vista, alguma situa��o, em que ele seja
> *melhor* do que o m�todo de Newton. Certamente que nas situa��es
> mais �bvias o seu m�todo � um pouco *pior* do que Newton.
>
> A situa��o t�pica para o m�todo de Newton � a do seguinte exemplo.
> Tome f(x) = x^2 - 1. Se x_n = 1 + eps, a reta tangente ao gr�fico
> de f por (x_n,f(x_n)) tem coeficiente angular 2x_n logo �
> y - x_n^2 + 1 = 2x_n (x - x_n).
> Resolvendo y = 0 (Newton) temos
> x_{n+1} = x_n - (x_n^2 - 1)/(2 x_n) =
> = 1 + eps - (1 + 2 eps + eps^2 - 1)/(2(1+eps))
> = 1 + eps ( 1 - (2 + eps)/2(1 + eps) ) ~= 1 + eps ( 1 - (2+eps)(1-eps)/2)
> ~= 1 + eps ( 1 - 1 - eps/2) = 1 + eps^2/2.
> A sua aproxima��o a partir de x_n claramente est� entre x_{n+1} e x_n.
> Mas ela � bem pior do que x_{n+1}. No limite (quando eps � pequeno),
> o gr�fico fica quase reto. Newton toma por aproxima��o a reta tangente
> e pega a interse��o desta reta com o eixo horizontal, o que d� converg�ncia
> quadr�tica, como voc� viu acima. O seu m�todo toma a mesma reta tangente
> e pega um ponto que est� a uma raz�o mais ou menos fixa,
> garantindo converg�ncia apenas linear.
>
> []s, N.
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia El�trica, 2�ano
UNESP - Ilha Solteira
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - � gr�tis!
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