Embora bastante atrasado, vou finalmente apresentar ademonstracao que a Ana pediu sobre a desigualdade valida para a seq. das medias ponderadas.
Sejam x_n uma sequencia de numeros reais e p_n uma seq. de pesos nao negativos com p_1>0. Para n=1,2...definamos s_n = (Soma(i=1,n)p_i*x_i)/Soma(i=1,n)p_i). Se Soma(i=1,oo) p_i divergir, entao, no sistema dos reais expandidos, temos que lim inf x_n <= lim inf s_n <= lim sup s_n <= lim sup x_n. A desigualdade do meio vale para qualquer seq. de numeros reais. Vou mostrar a da esquerda. A prova da desig. da direita eh inteiramente analoga. Como os p_i sao não negativos, a divergencia de Soma(n==1,oo)p_i implica que esta serie diverge para + oo. Se lim inf x_n = -oo, entao a desigualdade eh trivialmente satisfeita. Se lim inf x_n for real, entao para todo q < lim inf x_n existe um inteiro positivo k tal que x_n > q para n > k. Seja w = minimo {x_1,...x_k}. Para n>k, temos entao que s_n = (Soma(i=1,k)p_i*x_i + Soma(i=k+1,n)p_i*x_i))/(Soma(i=1,n)p_i) > (Soma(i=1,k)p_i*w + Soma(i=k+1,n)p_i*q))/(Soma(i=1,n)p_i) = w*Soma(i=1,k)p_i + q*Soma(i=k+1,n)p_i)/(Soma(i=1,n)p_i) = (w*Soma(i=1,k)p_i + q*(Soma(i=1,n)p_i- Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) = ((w-q)*Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) + q. Mantendo-se k e q fixos, definamos, para n>k, y_n = ((w-q)*Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) + q. Como (Soma(i=1,n)p_i) ->oo quando n->oo, temos que y_n->q. E como s_n > y_n para n>k, temos que lim inf s_n >= lim inf y_n = lim y_n = q. Para todo q < lim inf x_n temos, portanto, que lim inf s_n >= q, o que implica automaticamente que lim inf x_n <= lim inf s_n. As desigualdades apresentadas implicam tambem que, se x_n -> x e Soma(p_n) diverge, entao s_n -> x (inclusive se x = + ou - oo, nos reais expandidos). Outra conclusao mais facil de mostrar eh que, se x_n eh limitada em R e Soma(p_n) converge, entao s_n converge (desta vez, se x_n convergir nao precisamos ter lim s_n = lim x_n). No meu caso real eu tenho uma sequencia s_n correspondente a uma x_n limitada e nao negativa e a uma p_n limitada. Eu conheco limites superiores para x_n e p_n, mas os termos de ambas sao gerados estocasticamente por um programa de simulacao. Estou quase certo que Soma(p_n) diverge. Serah que existe algum processo para decidir se s_n converge? Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Read only the mail you want - Yahoo! Mail SpamGuard. http://promotions.yahoo.com/new_mail ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================