on 10.12.04 00:12, vinicius at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> --------- Mensagem Original -------- >> De: [EMAIL PROTECTED] >> Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> >> Assunto: [obm-l] polinomio... >> Data: 09/12/04 02:24 >> >> >> Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: >> >> Para quais valores de "a" de "n" o polinomio: >> x^n - ax^(n-1) + ax - 1 > > � divisivel por (x-1)^2 >> >> tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..? >> Infelizmente (ou felizmente) o uso de derivadas e, em geral, de matematica "universitaria", simplifica muito a solucao de varios problemas de nivel medio. Se voce nao quiser usar estes recursos, normalmente vai ter que recorrer a alguma solucao "macetosa", envolvendo alguma fatoracao menos obvia.
Por exemplo, no caso acima deve ser, obviamente, n >= 2. Se n = 2, entao p(x) = x^2 - 1, o qual nao eh divisivel por (x-1)^2. Logo, podemos supor n >= 3. Vamos re-escrever o polinomio como: (x^n - 1) - a(x^(n-1) - x) = (x - 1)(x^(n-1) + ... + x + 1) - a(x - 1)(x^(n-2) + ... + x^2 + x) = (x - 1)(x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x)) Nesse caso, x - 1 deve dividir x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x) ==> 1 eh raiz de x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x) ==> 2 + (1 - a)(n - 2) = 0 ==> a = n/(n-2) Logo, os valores de a e n sao dados pelos pares: (n,a) com a = n/(n-2) e n >= 3. *** Em suma, acho melhor voce aprender o que eh derivada de um polinomio (conceito que, alias, pode ser totalmente desenvolvido sem que se use a palavra "limite", a qual parece ser a maior fonte de dificuldade pra maioria das pessoas) e a relacao entre raizes multiplas e derivadas. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
