--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Se voce nao usou nada que seja parecudo com as > Desigualdades de Jensen, eu quero ver... > > Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram > escritas? > Desta desigualdade generalizada eu ainda nao tinha visto nenhuma prova, mas certamente existem varias. Pela desigualdade de Jensen deve dar para sair, mas eu dei uma outra demonstracao baseada nas propriedades da funcao exponencial, muito semelhante a uma que mostra que ma >= mg. Sejam entao x_1,...x_n e p_1,....p_n numeros positivos, a =(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i) a media aritmetica ponderada dos x_i's com relacao aos p_i's e g = =(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)) a respectiva media geometrica ponderada. Temos entao que a e g sao positivos. Para cada i=1,...n, seja r_i o desvio relativo de x_i com relacao a a, ou seja, a = (x_i - a)/a = x_i/a -1. Verificamos entao facilmente que Soma(i=1,n) p_i*r_i = 0. Pelas propriedades da funcao exponencial, para cada r_i temos que e^(r_i) >= 1+ r_i, havendo igualdade sse r_i = 0. Da definicao de r_i, segue-se que e^(r_i) >= x_i/a, havendo igualdade sse x_i =a. Temos entao que e^(p_i*r_i) = (e^(r_i))^p_i >= (x_i/a)^p_i, com igualdade sse x_i =a. Multiplicando-se membro a membro a n desigualdades obtidas variando-se i de 1 a n e observando que todos os numeros emvolvidos sao positivos, concluimos que Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) >= Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i). Em virtude do que vimos, hah igualdade sse x_1 =...x_n =a. Pelas propriedades da funcao exponencial, temos no 1o membro que Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) = e^(Somai=1,n)(p_i*r_i)) = e^0 = 1. No segundo membro, temos que Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i) = (Produto(i=1,n)((x_i^p_i))/(a^(Soma(i=1,n))p_i))) = (g^(Soma(i=1,n))p_i)))/a^(Soma(i=1,n))p_i))) = (g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)). Concluimos assim que 1 >= g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)), o que significa simplesmente que a >= g. Conforme vimos, a igualdade ocorre sse x_1 = ....x_n. Abracos Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - now with 250MB free storage. Learn more. http://info.mail.yahoo.com/mail_250 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================