Um fato que ajuda (muito!) é saber que integral(0; x)[1/(1-t)]dt = - log (1 - x). Mas 1/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ... + t^(n-1) + r_n(t), com r_n(t) = t^n/ (1-t).
Substituindo e integrando termo a termo, vem (para x < 1) - log(1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ... + x^n/n + R_n(x), onde R_n(x) = integral(0; x)[r_n] dt = integral(0; x)[t^n/(1 - t)]dt. Suponha que -1 <= x <= 0; é preciso mostrar que R_n --> 0. Neste intervalo, |t^n/(1 - t)| <= |t^n| = (-1)^n*t^n. Então |R_n|<= |integral(0;x)[t^n]dt| = |x|^(n+1)/(n+1) que tende a zero quando n -- > +oo, portanto - log (1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ... ==> log (1 - x) = - (x + x^2/2 + x^3/3 + ...) Substituindo x = -1, vem o resultado desejado. []s, Daniel Ana Evans ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Oi pessoal >Eu estou tentando provar que a serie alternada >Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3....converge para >Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge >porque eh alternada e 1/n -> 0. Eu tentei me basear no >fato de que, para |x| series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x) = >x - x^2/2 + x^3/3....Mas, sabemos que o raio de >convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo >que converge garantidamente apenas em (-1, 1), e nao >podemos extender a conclusao para x=1, o que nos >levaria ao desejado. Eu ai tentei extender o dominio >da funcao limite da serie de potencias, incluindo >tambem x=1, mas como a convergencia nao eh >necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei la. >Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela >expansao de Taylor. >Obrigada >Ana > >__________________________________________________ >Do You Yahoo!? >Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around >http://mail.yahoo.com >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================