f(x)= (a^x*C1+1)/(a^x*C2+1)
No caso da 1a parcela da desigualdade
C1=a^2
C2=bc
Achando os pontos críticos da função acima, a derivada é dada por:
f´(x)=a^x(C1-C2)/(a^xC2+1)^2
que igualando a zero e lembrando que a,b,c,x sao positivos e portanto diferentes de 0, fornece:
C1=C2
ou seja
a^2=bc
Fazendo isso para cada parcela da desigualdade, encontramos:
b^2=ac
e
c^2=ab
ou seja:
f1(x)>=1
f2(x)>=1
f3(x)>=1
ou
[a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/[(c^
(x)*b*c)+1]>=1+1+1=3
Um abraço,saulo.
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda... Date: Tue, 28 Dec 2004 16:34:29 +0000
Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que
[a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/[(c^
(x)*b*c)+1]>=3
Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a primeira parcela)
a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1].
Para concluir a desigualdade, basta mostrar que
a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) >= 3,
o que é equivalente a mostrar que
a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc >= 0.
Mas observe que
a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)
É claro que (a + b + c) > 0.
Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac >=0, mas não consigo fazer isso.
[]s, Daniel
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