On Fri, Dec 31, 2004 at 06:47:57PM -0200, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: > Eu não disse que 0^0 = 1. Isso não está definido. Mas lim x->0 x^x = 1: > > x^x = exp(x * ln x). Como exp é contínua, teremos > lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x). > > Para calcular lim x->0 x ln x, x ln x = ln x/ (1/x) e, como > (ln x)' = 1/x e (1/x)' = (-1/x^2), e lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) = lim > x->0 (-x) = 0, > por l'Hôpital, lim x->0 ln x/(1/x) = 0. > > Assim, voltando para exp, temos lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x) = > exp(0) = 1. > > Agora, se você falar que 0^0 = 1, você vai arrumar confusão. Mesmo > porque dá para arrumar f(x) e g(x) de forma que f(x) ->0 e g(x) ->0 > com x->0, mas podem acontecer os casos a seguir: > 1) f(x)^g(x) não existe (use algo patológico como sen(1/x), sempre > funciona...) > 2) f(x)^g(x) = r para um real r arbitrário (bom, pode ser complexo > também, se você quiser...) > 3) f(x)^g(x) diverge para +- infinito
Nos seus exemplos voce precisa ter o cuidado de manter a função f positiva pois expressões como (-1)^(sqrt(2)) não estão definidas. Mas fora esta pequena correção, o que você diz é verdade: Existem funções f > 0 e g tais que lim_{x -> 0} f(x) = lim_{x -> 0} g(x) = 0 e (1) não existe lim_{x -> 0} f(x)^g(x). (2) lim_{x -> 0} f(x)^g(x) = r, r >= 0. (3) lim_{x -> 0} f(x)^g(x) = +infinito. Apesar disso tudo, o usual é definir 0^0 = 1. As razões para isso já foram discutidas várias vezes nesta lista. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================