On Fri, Dec 31, 2004 at 06:47:57PM -0200, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote:
> Eu n�o disse que 0^0 = 1. Isso n�o est� definido. Mas lim x->0 x^x = 1:
>
> x^x = exp(x * ln x). Como exp � cont�nua, teremos
> lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x).
>
> Para calcular lim x->0 x ln x, x ln x = ln x/ (1/x) e, como
> (ln x)' = 1/x e (1/x)' = (-1/x^2), e lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) = lim
> x->0 (-x) = 0,
> por l'H�pital, lim x->0 ln x/(1/x) = 0.
>
> Assim, voltando para exp, temos lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x) =
> exp(0) = 1.
>
> Agora, se voc� falar que 0^0 = 1, voc� vai arrumar confus�o. Mesmo
> porque d� para arrumar f(x) e g(x) de forma que f(x) ->0 e g(x) ->0
> com x->0, mas podem acontecer os casos a seguir:
> 1) f(x)^g(x) n�o existe (use algo patol�gico como sen(1/x), sempre
> funciona...)
> 2) f(x)^g(x) = r para um real r arbitr�rio (bom, pode ser complexo
> tamb�m, se voc� quiser...)
> 3) f(x)^g(x) diverge para +- infinito
Nos seus exemplos voce precisa ter o cuidado de manter a fun��o f positiva
pois express�es como (-1)^(sqrt(2)) n�o est�o definidas. Mas fora esta
pequena corre��o, o que voc� diz � verdade:
Existem fun��es f > 0 e g tais que lim_{x -> 0} f(x) = lim_{x -> 0} g(x) = 0 e
(1) n�o existe lim_{x -> 0} f(x)^g(x).
(2) lim_{x -> 0} f(x)^g(x) = r, r >= 0.
(3) lim_{x -> 0} f(x)^g(x) = +infinito.
Apesar disso tudo, o usual � definir 0^0 = 1.
As raz�es para isso j� foram discutidas v�rias vezes nesta lista.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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