[EMAIL PROTECTED] wrote:
Um probleminha para come�ar o ano:
Considere todos os n�meros naturais cuja representa��o decimal n�o possua nenhum d�gito 9. Prove que a soma dos inversos desses n�meros converge.
Oi,
Suponha que n_1, ..., n_r s�o todos os n�meros com exatamente k d�gitos e sem d�gito 9.
Defina T_k = 1/n_1 + ... + 1/n_r. � evidente que a soma que estamos considerando � S = T_1 + T_2 + ...
Sendo assim, vamos nos preocupar com a raz�o T_{k+1}/T_k.
Observe que todo n�mero com k+1 d�gitos sem que nenhum deles � 9 � composto de k d�gitos iniciais que formam um n�mero de k d�gitos sem 9 e um d�gito final que pode ser 0~8. Isso nos diz que T_{k+1} = [1/10n_1 + ... + 1/10n_r] + [1/(10n_1 + 1) + ... + 1/(10n_r + 1)] + ... + [1/(10n_1 + 8) + ... + 1/(10n_r + 8)] < 9 [1/10n_1 + ... + 1/10n_r] = 9/10 T_k.
Observe que S < T_1 [1 + 9/10 + (9/10)^2 + ... ] = 10 T_1.
Isso mostra que a s�rie � limitada superiormente. Como a s�rie � crescente, sabemos que o valor da soma converge.
[ ]'s ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
