Obrigado pela atenção, professor, e pela resposta sempre perfeita.
De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma como eu tinha feito ontem a noite. Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa original, só que tomando somas com um número finito de termos da série harmonica. Assim, tomando os n primeiros termos: S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... +3/3n S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ... +2(n-2) -1/(n-1) -1/n + 3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n Comparando a sequencia finita S com os n primeiros termos da minha série original (infinita) percebi que eram iguais exceto pelo erro dado por: E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n Agora é possível fazer duas aproximações quando n->oo Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) Com isso: E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) + 1/3n Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero para x->oo. Neste caso posso calcular: E (n->oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3) E (n->oo) = log (3) Portanto: s(n->oo) = 1 + 1/2 - log(3) Claro que não é uma demonstração completa do ponto de vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito porque acho que está correta e de início eu não sabia nem como começar... E posso usar esta para outras séries parecidas. []´s Demetrio --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio > Freitas wrote: > > Achei uma resposta: > > > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 > +1/ > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +..... > > > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > > +3/12... = serie harmonica > > > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7.... = 1 + 1/2 - > serie > > harmonica > > > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > > > Será que isto tá certo? > > Infelizmente não. Você usou implicitamente a > convergência > da série harmônica. A resposta correta está abaixo. > > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +..... > > Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + > ... (Taylor) > A série converge condicionalmente para o valor certo > se |z| = 1, z != 1. > Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos > f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + > 1/6 + ... > Somando isso com o conjugado temos > f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - > 1/7 - 1/8 + 2/9 -... > Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que > você quer é > S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = > 3/2 - log(3) ~= 0.401387711. > > Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos > no maple: digite > aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): > add(evalf(aa),k=1..100); > e o maple responde 0.3980801201. > Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos > 0.4010546371. > Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de > grandeza de k^(-2) > donde a soma dos n primeiros termos deve estar > sempre um pouco abaixo > do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), > coerentemente com > os números encontrados. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
