soma dos n numeros naturais: S1=1+2+3+4+...++n-1+n=n*(n+1)/2 soma dos quadrados: S2=1^2+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/2 A soma dos cubos pode ser encontrada por: (a+1)^4=a^4+4a^3+6a^2+4a+1 logo: 1^4=1^4 2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1^4 3^4=(2+1)^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1^4 4^4=(3+1)^4=3^4+4*3^3+6*3^2+4*3+1^4 . . .
(n-1)^4=(n-2+1)^4=(n-2)^4+4*(n-2)^3+6*(n-2)^2+4*(n-2)+1^4 n^4=(n-1+1)^4=(n-1)^4+4*(n-1)^3+6*(n-1)^2+4*(n-1)+1^4 somando tudo sobra: n^4=4(1^3+2^3+3^3+4^3+...+(n-1)^3)+6(1^2+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2) +4(1+2+3+4+...+n-1)+n fazendo n=n+1 e S3=somatorio dos cubos S2=somatorio dos quadrados S1=somatorio dos naturais (n+1)^4-(n+1)=4S3+6S2+4S1 substituindo as formulas de S2 e S1 encontramos: S3=S1^2 um abraço, saulo.
From: fabiodjalma <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?Re: [obm-l] =?Provar desigualdade por indu?= ção?= Date: Sun, 23 Jan 2005 10:47:22 -0200
Base: 1^3 = (1)^2 Por hipótese de indução, consideremos verdade a igualdade para n=k 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2
Vamos provar que a relação vale para k+1. (1 + 2 + ... + k + (k+1))^2 = (1 + 2 + ... + k)^2 + 2.(1 + 2 + ... + k).(k+1) + (k+1)^2 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + 2.(1 + 2 + ... + k).(k+1) + (k+1)^2 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + 2.(k+1)k/2.(k+1) + (k+1)^2 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + k.(k+1)^2 + (k+1)^2 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3
Em (08:06:51), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
>De que maneira vc descobriu essa relação? >Por tentativa mesmo? >Valeu! >Alan > > --- fabiodjalma escreveu: >> >> Prove por indução que 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + >> 2 + ... + n)^2 >> >> Em (17:18:22), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: >> >> >> >Olá a todos os amigos da lista! >> >Essa desigualdade é do livro do Apostol e eu não >> >consigo demonstrá-la. >> >Gostaria que alguém me ajudasse. >> >Grato! >> > >> >1^3 + 2^3+ ... +(n-1)^3 <(n^4)/4 <1^3 + 2^3 + ... + >> >> >n^3 >> > >> >Como eu posso resolver? >> >Obrigado, >> >Alan Pellejero >> > >> >__________________________________________________ >> >Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! >> Messenger >> >http://br.download.yahoo.com/messenger/ >> >>========================================================================= >> >> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e >> usar a lista em >> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> >> >>========================================================================= >> >> > >> >---------- >> > >_______________________________________________________ >Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. >http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > >----------
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