Assim, a soma eh limitada superiormente por:
2 + 3 + (6*1-1) + (6*1+1) + (6*2-1) + (6*2+1) + ... + (6*334 - 1) =
2 + 3 + 12*(1 + 2 + ... + 333) + 6*334 - 1 =
5 + 12*333*334/2 + 6*334 - 1 =
669340.
Agora, retiramos os numeros da forma 6m + 1 que sao multiplos de 5:
6m + 1 == 0 (mod 5) ==> m == 4 (mod 5)
Logo, podemos subtrair:
(6*4 + 1) + (6*9 + 1) + (6*14 + 1) + ... + (6*329 + 1) =
6*(4 + 9 + 14 + ... + 329) + 66 =
6*(66*(4+329)/2) + 66 =
66000.
Ou seja, achamos a cota superior de 669340 - 66000 = 603340.
Ainda dah pra melhorar a cota, se retirarmos os multiplos de 5 da forma 6m - 1:
6m - 1 == 0 (mod 5) ==> m == 1 (mod 5) ==>
podemos subtrair:
(6*6 - 1) + (6*11 - 1) + (6*16 - 1) + ... + (6*331 - 1) =
6*(6 + 11 + 16 + ... + 331) - 66 =
6*(66*(6+331)/2) - 66 =
66660.
Cota superior = 603340 - 66660 = 536680.
[]s,
Claudio.
on 13.10.04 15:08, Marcio M Rocha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa tarde a todos.
Gostaria da ajuda de voc�s com o seguinte problema:
�Demonstre que a soma de todos os n�meros primos entre 1 e 2004 � menor que 667222.�
Tentei um caminho destrutivo, eliminado alguns n�meros que n�o s�o primos:
a) Da seq��ncia 1, 2, 3, ..., 2004, retirei o 1 e os n�meros pares maiores que 2.
b) Calculei a soma S dos termos da seq��ncia restante
S = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ 2003
obtendo S = 1 004 005.
c) Da seq��ncia anterior, eliminei os m�ltiplos de 3 maiores que 3. Como a soma desses m�ltiplos � 334 665, a soma
S1 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + ... + 2003
vale
S1 = S � 334 665 = 669 340.
Como a seq��ncia 2, 3, 5, 7, 11, ..., 2003 � formada ainda por n�meros compostos, basta que eu retire alguns deles, lembrando apenas de n�o retirar nenhum m�ltiplo de 3. Retiro, ent�o, 1963 = 13 x 151 e 155 = 5 x 31, e a soma dos n�meros restantes fica igual a 667 222. Como ainda h� n�meros compostos, est� claro que a soma dos primos entre 1 e 2004 deve ser menor que 667 222.
Est� tudo OK? Algu�m poderia dar um caminho melhor?
Abra�os,
M�rcio Rocha.
P.S. Embora reconhe�a que muitos participantes da lista n�o necessitem, gostaria de pedir em meu nome ( e talvez no de outros), que as solu��es, sempre que poss�vel, viessem acompanhadas das "motiva��es", para que aqueles que l�em n�o fiquem com a sensa��o de "coelho tirado da cartola". Pe�o isso porque li um artigo de Miguel de Guzm�n onde ele diz que Euler, em sua obra, "colocava-se inicialmente na ignor�ncia do tema e dos m�todos que iria empregar, para come�ar en condic�es de igualdade con aquele a quem trata de conduzir pelo caminho, ajudando-o a ver as dificuldades que ele mesmo encontrou, levando-o, �s vezes, por caminhos equivocados que ele mesmo havia percorrido antes, a fim de que aprenda tamb�m dos equ�vocos". (O artigo completo em espanhol est� em www.campus-oei.org/oim/saladelectura.htm <http://www.campus-oei.org/oim/saladelectura.htm> , sob o t�tulo "O papel do matem�tico en la educaci�n matem�tica"
Se n�o estiver fora do tema, poder-se-ia discutir tamb�m estrat�gias de solu��o, como as apresentadas no Problem Solving Strategies.
Desculpem se escrevi demais.
