Se A e B s�o matrizes de orden n , tais que AB=I ==> BA=I.
BA=BIA=B(AB)A=(BA)(BA)=(BA)^2. Fazendo BA=S ,temos que S^2=S, como S=BA � invert�vel (produto de duas matrizes invert�veis , pois se AB=I � claro que det(AB)=detA.detB=1 e portanto detA e detB s�o n�o nulos e portanto A e B s�o invert�veis).Assim, se S^2=S, com S invert�vel, podemos multiplicar ambos os menbros por S^(-1) eda� temos que;
S.S=S => [S^(-1).S].S=S^(-1).S => I.S=I => S=I, mas S=BA e portanto BA=I.
Cgomes
De fato, BA=BIA
----- Original Message ----- From: "Jair Donadelli Junior" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[email protected]>
Sent: Friday, October 08, 2004 3:54 PM
Subject: Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote:
O problema a seguir eh trivial?
Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade)
Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA?
Come�ando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA � uma proje��o de posto m, ou seja, uma proje��o de R^n sobre um subespa�o de dimens�o m.
Quanto ao primeiro, eu diria que ele *n�o* � trivial. Encarando A e B como transforma��es lineares, � bem claro que A � sobre e B � injetora. O que fica faltando � provar o seguinte lema:
Seja T uma transforma��o linear de um espa�o vetorial de dimens�o finita V nele mesmo. Ent�o as seguintes condi��es s�o equivalentes:
(a) T � injetora; (b) T � sobrejetora; (c) T � invers�vel.
Este � uma esp�cie de vers�o linear do princ�pio das casas de pombos e requer demonstra��o. A demonstra��o pode ser encontrada em qualquer livro de �lgebra linear, claro, mas n�o � de todo trivial. Note que todas as seguintes hip�teses s�o necess�rias:
Dimens�o finita: o lema � falso em espa�os vetoriais de dimens�o infinita. Espa�o vetorial: o lema � falso para m�dulos sobre quase qualquer anel.
A necessidade destas duas hip�teses torna a meu ver o princ�pio das casas de pombos lineares algo n�o trivial.
[]s, N.
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