Ai, ai... no e-mail anterior eu fiz (p^n)^n = p^n^n em vez de p^n^2, ou, mais claramente, p^(n^2)... Felizmente isso não muda quase nada, a resolução é quase idêntica, trocando-se um 13 por um 4 e nada mais! Abaixo segue já com a alteração (e mais uma vez, desculpem!):
>Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos >números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a" >seja um número primo. >Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a >expressão: >(a^n + b) / (a^n - b) > >seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um >quadrado perfeito. Assumindo n inteiro, n > 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo ==> a = p^n, portanto a é inteiro. Faça b = d^2 e seja k primo. (p^(n^2) + d^2)/(p^(n^2) - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^(n^2) + d^2 = 2*p^(n^2) - 2*d^2 ==> p^(n^2) = 3*d^2 ==> p = 3 ==> d = 3^x As igualdades agora são 3^(n^2) = 3^(2*x + 1) ==> n^2 = 2*x + 1 ==> n é ímpar Tomamos n = 3 ==> x = 4. Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser 2. Se n = 2, teríamos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k ==> p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 ==> p = 3 ==> 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k > 2, primo ==> k ímpar ==> mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 ==> (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo) Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 ==> 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 ==> p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 ==> p^2(p^2 - 1) = d^2 ==> d = p*z ==> p^2 - 1 = z^2, isto é, p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos. Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3. []s, Daniel ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================