OK. Falha minha. No mais, pra quem quiser, aqui estah uma demonstracao do teorema de Lindemann, a que voce se referiu na msg anterior: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf
Alias, estas notas de aula sobre numeros irracionais e transcendentes sao bem interessantes (pelo menos as partes que eu consegui entender), especialmente pra quem nao tem o livro do Niven. Nelas voce tambem pode encontrar a demonstracao de que a sequencia das partes fracionarias de n*a (n inteiro e a irracional) sao uniformemente distribuidas em [0,1], o que estende o resultado jah discutido aqui na lista de que ela eh densa nesse intervalo. []s, Claudio. on 04.03.05 10:11, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Thu, Mar 03, 2005 at 12:41:00PM -0300, Claudio Buffara wrote: >>> Corol�rio do corol�rio: >>> Se x � racional, x diferente de 0, ent�o cos(x) � irracional. >>> Se x � racional, x diferente de 1, ent�o arccos(x) � irracional. >>> >> Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1. >> Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho >> que essas sao as unicos excecoes. > > Acho que n�o estamos nos entendendo. > > Se r = 1/2 ent�o arccos(r) � de fato m�ltiplo racional de Pi > mas n�o era disso que eu estava falando na segunda parte da mensagem > nem foi esta a pergunta original. > > O que eu disse � que arccos(r) � irracional para r racional, > r diferente de 1, o que � correto exatamente como eu enunciei, > sem outras exce��es al�m de r=1. Por exemplo, arccos(0) = pi/2 > � irracional pois pi � irracional. > > Se a pergunta for para quais racionais r temos que arccos(r) > � um m�ltiplo racional de pi ent�o a resposta � que isto ocorre > exatamente para os valores que voc� listou: 0, +-1 e +-1/2. > A prova disso � bem simples. Se x � racional ent�o > 2cos(pi x) = exp(i pi x) + exp(-i pi x) � um inteiro alg�brico. > Assim se cos(pi x) for racional, 2 cos(pi x) deve ser racional > e inteiro alg�brico, logo inteiro. Como -2 <= 2 cos(pi x) <= 2 > devemos ter cos(x) = 0, +-1 ou +-1/2. > > []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
