Bom, talvez dê para fazer na força-bruta: Seja g(z) = [f(z*)]*, na sua notação (z* = conjugado complexo de z)
g(z + h) - g(z) = [f(z* + h*) - f(z*)]* (usando que (a+b)* = a* + b*) Agora, usando a propriedade da derivada de f(z + h) = f(z) + f'(z)h + r(h), com |r(h)|->0 para |h|->0, teremos que g(z + h) - g(z) = [f(z*) + f'(z*)h* + r(h*) - f(z*)]*. Note que |r(h*)|->0 quando |h|->0, pois |h|->0 <=> |h*|->0 (já que são exatamente a mesma coisa, |h| = |h*|) Fazendo de novo as contas, teremos: g(z + h) - g(z) = [f'(z*)h* + r(h*)]* = [f'(z*)h*]* + [r(h*)]* = [f'(z*)]*(h) + [r(h*)]* Assim, temos que g(z + h) - g(z) = [f'(z*)h* + r(h*)]* = [f'(z*)h*]* + [r(h*)]* = [f'(z*)]*(h) + [r(h*)]* Agora, note que temos g(z + h) = g(z) + [f'(z*)]*(h) + [r(h*)]* Ora, [f'(z*)]* é um número complexo (e corresponde bem à nossa intuição, já que ele é a g'(z), faz sentido ter esta forma, certo?), que aparece multiplicando h (e não h*, ISSO É IMPORTANTE) Além disso, temos uma certa função s(h) = [r(h*)]* que satisfaz lim |s(h)| = 0, para |h|-> 0, logo o número complexo [f'(z*)]* é a derivada, no sentido complexo, de g(z) no ponto z. Note que o ponto crucial da demonstração é você usar a fórmula completa da derivada, sem ser o "caso limite", o que dá mais facilidade para manipulação (o que não quer dizer que é impossível você fazer só com manipulações dentro dos limites, mas eu acho bem mais fácil!) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 08 Mar 2005 01:16:04 -0300, Fabio Niski <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Mas eu falei pra nao usar as eq. de Cauchy-Riemann > Pedro Antonio Santoro Salomao wrote: > > > Escreva f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i.v(x,y) onde u e v satisfazem as equações > > de Cauchy-Riemann, por hipótese. > > > > Então g(z) = g(x,y) = u(x,-y) - i.v(x,-y) deve também satisfazer as eq. de > > Cauchy-Riemann. > > > > Um abraço. Pedro. > > > > -----Mensagem original----- > > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome > > de Fabio Niski > > Enviada em: Monday, March 07, 2005 7:00 PM > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > > Assunto: [obm-l] holomorfismos - análise complexa > > > > Pessoal, ainda sem usar as equacoes de Cauchy-Riemman > > como eu posso provar isso > > > > Notacao: > > 1) z* lê-se "conjugado de z" > > 2) H(U) conjunto de todas funcoes holomorfas em U > > > > "Seja U um aberto nao vazio de C tal que U é simetrico em relacao ao > > eixo real (i.e, z pert U => z* pert U). Mostre que se f pert H(U) entao > > a funcao g: U -> C definida por g(z) := [f(z*)]*, qq z pert U, é > > holomorfa em U." > > > > Tudo o que eu sei é a definicao de derivabilidade complexa, H(U) é uma > > sub-C-Algebra de C(U) e a regra da cadeia. > > > > A priori tentei usar a regra da cadeia mas me lembrei que a funcao > > conjugacao não é holomorfa, depois tentei pela definicao de derivacao > > complexa mas nao saiu. > > > > Alguem tem alguma solucao? > > > > Obrigado > > > > Niski > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================