Ok, novamente, com 4 reais positivos

1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according
to the following rule: (a, b, c, d)  (ab, bc, cd, da).
Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will
never appear again, except when a = b = c = d = 1.


Primeiramente, observe que se h um ciclo, o produto dos termos dessas qudruplas deve ser = 1.
Isso porque se f(.) a funo que calcula o produto das qudruplas e g(a, b, c, d) = (ab, bc, cd, da), ento


f(a, b, c, d) = abcd
f(g(a, b, c, d)) = (abcd)^2
f(g^2(a, b, c, d)) = (abcd)^4
...

Com isso, s pode haver um ciclo se abcd = 1.
Observe tambm que se h um ciclo (a, b, c, d) -> (ab, bc, cd, da) -> ... -> (a, b, c, d) ento h um ciclo
(ab, bc, cd, da) -> ... -> (ab, bc, cd, da).


Como o produto abcd = 1, fazendo ab = x e bc = y, temos
(x, y, 1/x, 1/y) -> ... -> (x, y, 1/x, 1/y).

Observe que a transformao g sempre preserva a propriedade de que o terceiro elemento o inverso do primeiro e o quarto o inverso do segundo. Logo, para representar a qudrupla, basta olhar para as duas coordenadas e para a transformao

(x, y) -> (xy, y/x) -> (y^2, 1/x^2)
se iterarmos a transformao, obtemos
(1/x^4, 1/y^4) -> ... -> (1/y^8, x^8) -> ... -> (x^16, y^16)

Na seqncia infinita de transformao, obtemos todos os pares da forma (x^(16^k), y^(16^k)) para k >= 0.
Se (x, y) != (1, 1) ento esses pares so todos distintos e, portanto, h infinitos pares distintos nas iteraes da transformao, mas isso implica que a transformao no pode ser cclica!



Abraos,

Domingos.

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Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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