1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according to the following rule: (a, b, c, d) (ab, bc, cd, da). Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will never appear again, except when a = b = c = d = 1.
Primeiramente, observe que se há um ciclo, o produto dos termos dessas quádruplas deve ser = 1.
Isso porque se f(.) é a função que calcula o produto das quádruplas e g(a, b, c, d) = (ab, bc, cd, da), então
f(a, b, c, d) = abcd f(g(a, b, c, d)) = (abcd)^2 f(g^2(a, b, c, d)) = (abcd)^4 ...
Com isso, só pode haver um ciclo se abcd = 1.
Observe também que se há um ciclo (a, b, c, d) -> (ab, bc, cd, da) -> ... -> (a, b, c, d) então há um ciclo
(ab, bc, cd, da) -> ... -> (ab, bc, cd, da).
Como o produto abcd = 1, fazendo ab = x e bc = y, temos (x, y, 1/x, 1/y) -> ... -> (x, y, 1/x, 1/y).
Observe que a transformação g sempre preserva a propriedade de que o terceiro elemento é o inverso do primeiro e o quarto é o inverso do segundo. Logo, para representar a quádrupla, basta olhar para as duas coordenadas e para a transformação
(x, y) -> (xy, y/x) -> (y^2, 1/x^2) se iterarmos a transformação, obtemos (1/x^4, 1/y^4) -> ... -> (1/y^8, x^8) -> ... -> (x^16, y^16)
Na seqüência infinita de transformação, obtemos todos os pares da forma (x^(16^k), y^(16^k)) para k >= 0.
Se (x, y) != (1, 1) então esses pares são todos distintos e, portanto, há infinitos pares distintos nas iterações da transformação, mas isso implica que a transformação não pode ser cíclica!
Abraços,
Domingos.
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
