on 17.03.05 21:25, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Einstein falou uma frase que toca no que voc� escreveu: > "A inova��o n�o � o produto de um pensamento l�gico, mesmo estando o produto > final atado a uma estrutura l�gica." > Esta deve ser uma das razoes pelas quais dizem que o principio da inducao matematica nao serve para descobrir teoremas, mas apenas para prova-los. Isso talvez ocorra justaente porque ele eh um axioma atado a estrutura logica que define e descreve os numeros naturais (e, por conseguinte, todos os outros numeros). Apesar disso, em alguns casos, a passagem de n para n+1 requer bastante criatividade, ou seja, alguma inovacao que nao estah contida (pelo menos nao explicitamente) no encadeamento logico da teoria dos numeros naturais.
> E sobre o teorema do fechamento alg�brico dos complexos, o livro do > Rudin "Principles of mathematical analysis" tem uma prova curtinha e n�o > muito dif�cil, e os pr�-requisitos para compreend�-la est�o todos dentro do > livro. > Eu continuo achando que pelo menos tao importante quanto conhecer a demonstracao rigorosa de algum teorema, eh conhecer a intuicao por tras dela. No caso desse ai, eu acho muito instrutivo ver o que acontece com a imagem da circunferencia |z| = R por um dado polinomio em C[z] quando R varia de 0 a um valor muito grande, de modo que a imagem varia de um ponto no plano complexo a algo muito proximo da circunferencia |z| = R^n, onde n eh o grau do polinomio. Em algum instante, esta imagem vai passar pela origem e isso significa que o polinomio tem alguma raiz. > Para aproveitar o espa�o: Algu�m sabe exibir uma base para o espa�o vetorial > das seq��ncias reais (R^oo)? Ou ainda, algu�m conhece uma base para o espa�o > das seq��ncias formadas por 0 e 1? > Imagino que este ultimo possa ser visto como um espaco vetorial sobre Z_2. Como o conjunto destas sequencias eh nao enumeravel, uma base desse espaco tem que ser nao-enumeravel. O primeiro espaco eh isomorfo ao espaco vetorial real das funcoes de N em R. Se nao me engano, o conjunto de tais funcoes tem a mesma cardinalidade de R. Assim, serah que ele nao possui base enumeravel? Eu nao tenho certeza. Um outro exemplo de espaco com base nao enumeravel eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais. Dah pra provar que embora ele proprio nao seja uma base, o conjunto de Cantor contem uma tal base. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
