Ola! O Shine publicou a solucao por analitica ne? Mas o que eu queria mesmo era uma geometria com menos contas e saber se da para fazer este problema por projetiva...
Alguem me indica um bom site de projetiva para iniciantes? []'s Eric. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Bem, o Shine deixou uma resposta em seu artigo > "Geometria com Contas" da Eureka! 17. > veja: > http://www.obm.org.br/eureka/eureka17.pdf > > --- Eric Campos <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > O problema a seguir foi proposto recentemente. Nao > > usei geometria analitica, mas tambem nao tive > ideia > > para usar projetiva... Alguem sabe resolver por > > projetiva (razao anarmonica etc)? Gostaria de ver > > a solucao por projetiva ou uma dica de como fazer! > > > > > No quadril�tero convexo ABCD, as diagonais AC e > BD > > > s�o perpendiculares e os lados opostos AB e DC > > n�o > > > s�o paralelos. Suponha que o ponto P, onde as > > > mediatrizes de AB e DC se encontram, � interior > a > > > ABCD. Mostre que ABCD � um quadril�tero > > inscrit�vel > > > se, e somente se os tri�ngulos ABP e CDP t�m > �reas > > > iguais. > > > > POSSIVEL SOLUCAO: > > > > (Faca uma figura) > > > > (=>) Se ABCD eh insctitivel entao ABP e CDP tem > > areas > > iguais. > > > > prova. Seja M o ponto medio de AB e N o ponto > medio > > de > > CD. Suponha ABCD inscritivel. Entao P eh o centro > da > > circunferencia onde se inscreve ABCD e > > > > angulo ACB = alfa (angulo inscrito do arco AB) > > angulo BPM = alfa (metade do angulo central do > arco > > AB) > > angulo ADB = alfa (angulo inscrito) > > > > angulo BDC = beta (angulo inscrito do arco BC) > > angulo BAC = beta (idem) > > angulo BPC = 2beta (angulo central do arco BC) > > > > angulo DBC = gama (angulo inscrito do arco DC) > > angulo CPN = gama (metade do angulo central do > arco > > DC) > > > > Seja Q o encontro das diagonais do quadrilatero. > > Considere o triangulo BQC, retangulo em Q e cujos > > outros angulos sao alfa e gama. Entao: > > alfa + gama = Pi/2, donde, no triangulo PNC, > > retangulo > > em N, tem-se: > > > > angulo PCN = alfa > > > > e no triangulo PBM, retangulo em M: > > > > angulo PBM = gama > > > > logo os triangulos PNC e BMP sao semelhantes, pois > > ambos tem angulos Pi/2, alfa e beta. Alem disso, > > PB = PC, isto eh, suas hipotenusas sao iguais, > logo, > > os triangulos PNC e BMP sao congruentes e > portanto: > > > > PN = BM e CN = PM > > > > donde > > > > BM.PM = PN.CN > > Area do triangulo BMP = Area da triangulo PNC > > como queriamos. > > > > > > (<=) Se ABP e CDP tem areas iguais entao ABCD eh > > circuncritivel. > > > > prova. Suponha que ABP e CDP tem areas iguais. > > Entao PM.BM = PN.CN (base por altura) donde > > PM/CN = PN/BM, entao os catetos sao proporcionais > e > > os > > triangulos MBP e NPC sao semelhantes, mas suas > areas > > sao iguais, e portanto estes triangulos sao > > congruentes > > e suas hipotenusas sao iguais, isto eh, > > > > PB=PC > > > > mas como PM eh mediatriz, PB = PA > > como PN eh mediatriz PC = PD, logo, > > > > PA = PB = PC = PD > > > > e ABCD eh inscritivel... __________________________________________________ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
