Valeu Claudio!
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [email protected] To: <[email protected]> Subject: Re: [obm-l] quest�o de olimp�ada Date: Thu, 31 Mar 2005 14:10:08 -0300
on 31.03.05 12:16, Felipe Nardes at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Ae galera me d� uma ajuda nessa quest�o:
>
> Determine todas as sequ�ncias finitas de n�meros naturais consecutivos cuja
> soma seja igual a 1000.
>
> gabarito: (1000), (198,199,200,201,202), (55,56,57,...,69,70) e
> (28,29,30,...,51,52)
>
> valeu!
>
Se a sequencia tem um numero impar 2m+1 de termos entao 2m+1 divide 1000,
pois a soma de 2m+1 inteiros consecutivos eh igual a 2m+1 vezes o inteiro do
meio, igual a 1000/(2m+1).
Os divisores impares de 1000 = 2^3*5^3 sao 1, 5, 25 e 125. Os termos do meio respectivos sao 1000, 200, 40 e 8. Repare que 125 nao serve pois a sequencia correspondente teria termos negativos, contrariamente ao enunciado. Logo, teremos 3 sequencias com um numero impar de termos: 1 termo ==> (1000) 5 termos ==> (198,199,200,201,202) 25 termos (28,29,...,40,...,51,52)
Se a sequencia tem um numero par 2m de termos, entao vai existir um inteiro positivo N tal que 2m*(N + 1/2) = 1000 ==> m*(2N + 1) = 1000. A sequencia serah: (N-m+1, N-m+2, ..., N-1, N, N+1,...,N+m-1, N+m) Obviamente, N-m+1 >= 1 ==> N >= m.
2N + 1 eh um divisor impar de 1000 e eh >=3 ==> 2N + 1 soh pode assumor os valores 5, 25 ou 125 ==> N soh pode ser 2, 12 ou 62 ==> os m correspendentes serao 200, 40 e 8 ==> Soh podemos ter N = 62 > 8 e a sequencia serah: (55, 56, ..., 62, 63, 64, ..., 69, 70)
[]s, Claudio.
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