Da Eureka 18, página 61: Você sabia… Que existem infinitos inteiros positivos ímpares k tais que k.2^n+1 é composto para todo n ? Tais inteiros k são chamados números de Sierpinski. Em 1962, John Selfridge provou que 78557 é um número de Sierpinski, e conjectura-se que seja o menor deles. Atualmente há 11 números menores que 78557 sobre os quais não se sabe se são números de Sierpinski ou não: 4847, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 55459 e 67607. O número 5359 fazia parte dessa lista até 6/12/2003, quando Randy Sundquist ( um participante do Seventeen or Bust, um projeto distribuído para atacar o problema de Sierpinski) encontrou o primo 5359.2^5054502+1 , que tem 1521561 dígitos e é o quarto maior primo conhecido, e maior primo conhecido que não é de Merssenne. Veja: http://www.seventeenorbust.com para mais informações.
Exercício: Prove que 78557 é um número de Sierpinski, e que existem infinitos números de Sierpinski a partir das congruências 78557.2^0+1=0 (mod 3) 78557.2^1+1=0 (mod 5) 78557.2^7+1=0 (mod 7) 78557.2^11+1=0 (mod 13) 78557.2^3+1=78557.2^39+1=0 (mod 73) 78557.2^15+1=0 (mod 19) 78557.2^27+1=0 (mod 37). Abraços, Gugu P.S.: Agora so' faltam 10: em 30/12/2004 foi achado o primo 28433.2^7830457+1, tirando o 28433 da lista acima. > >on 02.10.04 21:13, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> >> >> >>> From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> >>> >>> on 02.10.04 12:05, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: >>> >>>> >>>>> From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> >>>>> >>>>> >>>>> E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? >>>>> >>>> >>>> Vou escrever so a solucao pro Super Buffara ver se confere... >>>> o raciocinio escrevo assim ki tiver tempo >>>> >>>> para k*2^n + 1 basta k=[(3*5*11*17)*t + 1] ou >>>> k= 2805*t + 1 com t inteiro > 0 >>>> >>> Boa tentativa, mas 2806*2^8+1 = 718337 eh primo. >>> Por acaso voce usou o TCR? >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >> >> Poxa, foi uma bobeira que nao sei explicar... >Nesse caso, use a explicacao padrao: era um teste pra ver se as pessoas >estavem prestando atencao... > >> olhando de volta >> no guardanapo onde tinha escrito isso as potencias de 2 eram >> 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 516 (acho ki embolei 256 e 512) >Ja vi piores aqui na lista. Por exemplo, o meu 14 == -1 (mod 13). > >> Agora... se 2^8 fosse 516 tinha matado o problema :). >> Nao usei TCR nao, quer dizer acho ki nao >> pelo menos diretamente...fiz meio que reinventando a roda. >> Infelizmente nao conheco a terminologia matematica suficiente >> pra classificar o metodo. Mas vou descrever e vc me diz o que >> que e. Comecei com a mesma ideia dos outros problemas >> identificar um m onde 2^n = -1 (mod m) pra qualquer n. >> Como eh impossivel passei ao plano B. Idetinficar alguns 'm's >> 2^n = -1 (mod m) para parte dos 'n's. Isso na minha opniao eh >> uma aplicacao abaianada (com todo respeito) do TCR. >Possivelmente. > >> Dividi on 'n's em 4 conjuntos: [4t], [4t+1], [4t+2] e [4t+3] >> Se existir um grupo finito de 'm's onde 2^n = -1 (mod m_i) em >> todos os casos acima entao k = m_1*m_2*...*m_i + 1. >> >> O '11' da minha resposta foi baseado na lambanca anterior de >> 2^8 = 516 = -1 (mod 11). Agora estou em duvida se da pra >> achar finitos 'm's. O problema sao os casos onde n eh potencia >> de 2. Um dia vou aprender matematica e ai vcs vao ver so :). >> Mas espera sentado viu? >> >Esse eh um teorema provado por Sierpinski: existem infinitos impares k tais >que k*2^n + 1 eh composto. Conjectura-se que o menor k com essa propriedade >eh 78557 = 17*4621. De uma olhada em: http://www.prothsearch.net/sierp.html > >[]s, >Claudio. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================