A funao determinante de martizes continiua. O conjunto das matrizes inversiveis a imagem inversa do conjunto aberto (-oo,0)U(0,+oo), portanto um conjunto aberto.

Para mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais compacto, mostre que fechado e limitado. limitado , pois por exemplo na norma 2 de matrizes a norma de uma matriz ortogonal sempre =1.
Para mostrar que fechado pegue uma sequencia convergente de matrizes ortogonais A_k, com limite A_k=A. Mostre que A ortogonal.


Por A_k serem ortogonais (A_k^T)A_k=I. faa k tender a infinito nesta igualdade e vc tera que (A^T)A=I, logo A ortogonal. Para explicar isso pense em A=[a_1,a_2,...,a_n] onde a_i sao as colunas de A, e
A_k=[a_k^1,a_k^2,...,a_k^n] onde a_k^i sao as colunas de A_k.
A igualdade (A_k^T)A_k=I equivalente a
<a_k^i,a_k^i>=1, para todo k, e para i=1,...,n <,> o produto interno ( escalar de vetores.
Dizer q A_k converge para A siginifica que para cada i=1,...,n a coluna a_k^i converge para a coluna a_i. Logo tomando os limites em k nas igualdades do produto escalar, teremos que <a_i,a_i>=1 para i=1,...,n e assim A matriz ortoganal .





On Sun, 3 Apr 2005, carlos gomes wrote:

Al amigos,

Como fao para verificar que o conjuntos das matrizes invertveis nxn  aberto 
em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes ortogonais nxn  um subconjunto 
compacto de R^(n^2) ?
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