Ol�, Bruno! Eu acho que nesta solu��o deve-se elevar ao cubo, pois da maneira que foi colocada, os quadrados s�o simplificados.
Um abra��o, Guilherme Marques. -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno Lima Enviada em: ter�a-feira, 5 de abril de 2005 16:07 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2 Outra solucao que � bem manjada � 1^2 = (1+0)^2 = 1^2 +2*1*0+0^2 (1+1)^2 = 1^2 +2*1*1+1^2 . . . (1+n)^2 = 1^2 +2*1*n+n^2 Dai vc soma todas as equacoes e chega no resultado --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Ontem algu�m perguntou aqui na lista como se > demonstrava a f�rmula da soma dos quadrados dos > primeiros n inteiros positivos. > > Eu diria que 99% das pessoas usaria indu��o, o que > al�m de ser mec�nico e sacal, n�o ilustra o que > realmente ocorre no problema e, o que � pior, se a > f�rmula n�o for conhecida (ou seja, se o problema > for "deduza a f�rmula da soma dos quadrados dos n > primeiros inteiros positivos") vai ser dif�cil > adivinhar qual � ela usando apenas indu��o. > Naturalmente, uma vez que voc� tenha "adivinhado" > uma f�rmula, possivelmente olhando casos > particulares, voc� pode usar indu��o para confirmar > seu palpite. > > Eu sempre sou favor�vel a uma demonstra��o > combinat�ria, onde contamos o n�mero de elementos de > algum conjunto de duas formas distintas. > > No caso, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 � o n�mero de > elementos de que conjunto? > > Por exemplo, considere todos os ternos ordenados > (a,b,c) de elementos do conjunto {1,2,...,n,n+1} > tais que a > b e a > c. > > � claro (ou deveria ser pra quem participa dessa > lista) que se a = 1, o n�mero de tais ternos � zero, > se a = 2, o n�mero � 1*1 = 1, se a = 3, o n�mero � > 2*2 = 4. Em geral, se a = k+1, ent�o teremos k > possibilidades para b (b pode ser 1, 2, ... ou k) e > k para c, de modo que teremos k^2 ternos nas > condi��es do enunciado. > > Assim, fazendo a variar de 1 a n+1, obteremos o > n�mero de ternos nas condi��es do enunciado: 0^2 + > 1^2 + 2^2 + ... + n^2, ou seja, justamente a soma > desejada. > > Agora, um terno nas condi��es do enunciado s� pode > ser de tr�s tipos: > (a,b,c) com a > b > c; > (a,b,c) com a > c > b; > (a,b,c) com a > b = c. > > O n�mero de ternos de cada um dos dois primeiros > tipos � igual a: > Binom(n+1,3) (por que?) > > O n�mero de ternos do terceiro tipo � Binom(n+1,2) > (por que?). > > Logo, o n�mero total de ternos nas condi��es do > enunciado �: > 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) = > 2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 = > n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) = > n*(n+1)*(2n+1)/6. > > Ou seja, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6. > > []s, > Claudio. > Yahoo! Acesso Gr�tis - Internet r�pida e gr�tis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ======================================================================== = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ======================================================================== = ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
