on 06.04.05 22:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> A demonstra��o da independ�ncia dos funcionais est� ok, mas isso mostra > que se Z � o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais > se anulam, ent�o Z (na verdade um subespa�o de M(nxn)) � tal que dim Z = > dim M(nxn) - dim(F), onde por F � o subespa�o gerado pelos 2n + 2 funcionais > em quest�o no dual de M(nxn), isto �, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n > - 1. Este resultado � mais geral: Se Z � o espa�o dos zeros dos funcionais > f_1, ..., f_k, que est�o no dual de V, ent�o dim Z = dim V - dim (f_1, ..., > f_k). > > Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ... > = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n <> 0, assim dim Q >= > dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A) > = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados m�gicos, um > subespa�o vetorial). D� para provar que dim Q <= dim Z + 1 (naturalmente > um resultado mais geral v�lido para quaisquer funcionais), logo dim Q = > dim Z + 1 = n^2 - 2n. > > []s, > Daniel > Claro! Eu esqueci da condicao de que as matrizes sao quadrados magicos... Uma forma mais elementar de ver isso eh observar que o espaco dos quadrados magicos eh justamente o espaco-solucao de um sistema linear homogeneo de 2n equacoes em n^2 incognitas. As equacoes sao: L_1 - T = 0 ... L_n - T = 0 C_1 - T = 0 ... C_(n-1) - T = 0 S - T = 0 Como jah vimos, estas equacoes sao L.I. jah que os funcionais lineares correspondentes sao L.I. Logo, a dimensao do espaco solucao eh n^2 - 2n = dim(Q). []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
