Sauda,c~oes,
E qual � a solu��o no arquivo acho que do S�rgio de provas do IME? Ele poderia acrescentar a dessa msg e a por indu��o.
Essa solu��o do Nicolau deve mesmo ser a melhor algebricamente. Mas ser� que algu�m a conhecia para fazer a prova? Imagino que os autores da quest�o pensavam na solu��o combinat�ria ou indu��o. A que eu apresento no livro faz manipula��es no somando, como o Claudio andou sugerindo, mas � muito enrolada.
N�o estou conseguindo resolver o seguinte problema de cg: s�o dados um �ngulo (imagine de 50 graus) e uma transversal cortando os dois lados do �ngulo formando um tri�ngulo de tamanho conveniente.
Trace um c�rculo tangente aos lados do �ngulo e determinando na transversal uma corda de comprimento igual ao raio do c�rculo.
[]'s Lu�s
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [email protected] To: [email protected] Subject: Re: [obm-l] soma de termos Date: Thu, 7 Apr 2005 10:28:04 -0300
On Wed, Apr 06, 2005 at 03:58:30PM -0300, claudio.buffara wrote: > Por exemplo, � poss�vel dar uma demonstra��o combinat�ria da identidade > abaixo, que foi uma quest�o da famosa e dif�cil prova do IME de 1980/81. > > SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1). > > Agora, quero ver algu�m provar isso algebricamente...
O fato (que n�o � dif�cil) que voc� deve conhecer para fazer isto algebricamente � que f_m(x) = x^m/(1-x)^(m+1) = soma_k binom(k,m) x^k. Assim o lado direito A � o coeficiente de x^n em (f_m(x))^2 = x^(2m)/(1-x)^(2m+2) = (1/x) f_(2m+1)(x). Portanto A � o coeficiente de x^(n+1) de f_(2m+1), ou seja, A = binom(n+1,2m+1).
Mas eu concordo com o Claudio, prefiro a demonstra��o combinatoria. Alias, foi a que eu usei na prova (este foi o meu ano, e eu prestei o vestibular do IME, mas acabei n�o entrando l�).
[]s, N.
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