Injetiva: f(x) = f(y) ==> <x,x>x = <y,y>y. Se x = 0, entao <y,y>y = 0 e isso se e soh se y = 0. Se x <> 0, entao <x,x> > 0 e x = <y,y>/<x,x>y. y nao pode ser 0, pois nesse caso teriamos x = 0, uma contradicao. Logo, <y,y> > 0 e x = ky, onde k = <y,y>/<x,x> > 0. Assim, <x,x> = <ky,ky> = k^2<y,y> ==> 1/k^2 = <y,y>/<x,x> = k ==> k^3 = 1 ==> k = 1, pois k eh real ==> x = y ==> f eh injetiva.
Mesmo em R^1 a inversa nao eh diferenciavel, pois nesse caso f(x) = x^3 e a inversa g(x) = x^(1/3) nao eh diferenciavel na origem. Seja g: R^n -> R^n a inversa de f. Entao, g(y) = y/<y,y>^(1/3) se y <> 0 e g(0) = 0. Pode fazer as contas. Se g for diferenciavel na origem, vai existir uma transformacao linear T tal que: g(h) = g(0) + T*h + r(h), tal que r(h)/|h| -> 0 quando h -> 0 ==> r(h) = h/<h,h>^(1/3) - T*h. Tome h da forma k*e_1, onde k eh real e e_1 = (1,0,0,...,0). Entao, h/<h,h>^(1/3) = k^(1/3)*e_1 e T*h = k*(t_1,t_2,...,t_n), onde os t_i dependem de T. Logo, r(h) = (k^(1/3) - k*t_1,-k*t_2,...,-k*t_n). |h| = raiz(<h,h>) = |k| ==> r(h)/|h| = (k^(1/3)/|k| - kt_1/|k|,-kt_2/|k|,...,-kt_n/|k|). Quando k -> 0 (e portanto |h| -> 0), as coordenadas 2, 3, ..., n soh terao limite se t_2 = t_3 = ... = t_n = 0. Mesmo nesse caso, k^(1/3)/|k| - kt_1/|k| eh ilimitada numa vizinhaca de zero, de modo que r(h)/|h| nao tende a zero. Ou seja, g nao eh diferenciavel na origem. []s, Claudio. on 08.04.05 01:43, Ronaldo Luiz Alonso at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Meu caro Ronaldo, >> acho que seu argumento que f é uma contração na bola >> B(0,1) não está correta, pois não por enquanto não >> temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)|| >> <= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse >> hipótese, também não fiquei convensido que ela >> injetiva e não adimite inversa diferenciável!! >> Sem mais. > > Acho que você como matemático está certo em > julgamento. De fato, matemáticos querem > sempre coisas precisas. A intuição ajuda muito > mas não convence :) > > Deixa-me tentar novamente: > Acredito que a constante k pode ser obtida pela > desigualdade triangular. > ||f(x) + (- f(y))|| <= ||f(x)|| + ||-f(y)|| = ||<x,x>x|| + > ||<y,y>y|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3 > > como ||x||<1 e ||y|| < 1, então ||x||^3+||y||^3 < ||x||+||y|| > <||x|| - ||y|| (pois a norma é sempre positiva). > então qualquer 0 <= k < 1 satisfaz a desigualdade. > > Está certo? > > Falta tempo para eu examinar melhor as > idéias (e talvez também competência minha, > para firmá-las). > []s e saudações. > > > --- Ronaldo Luiz Alonso > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >> --------------------- >> 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x. >> Mostre que f é de classe C infinito e que leva a >> bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente. >> Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é >> diferenciável na origem. >> >> Neste caso se x \in B(0;1) então <x,x> = ||x|| e >> 0<||x|| < 1. Logo a aplicação é uma contração de >> x. >> A contração é diferenciável e de classe >> C^{\infty}. >> É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação >> seja >> injetiva. Por exemplo: Vetores próximos da >> fronteira >> tem norma 1 e portanto serão "pouco contraídos". >> Assim a demonstração de injetividade usa esse >> fato, >> isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da >> fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal >> que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa. >> Como ||x|| é sempre menor que 1 >> esses pontos tem que ser diferentes. >> Para entender por que a aplicação não é >> diferenciável >> na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor >> estiver da origem mais contraído será" na aplicação >> direta. >> (reciprocamente na aplicação inversa mais >> expandido >> será). A origem é uma espécie de "buraco >> negro ao contrário" logo não pode ter derivada >> lá. Argumentos do teorema de função implícita podem >> ajudar. >> Novamente sem rigor... apenas com idéias. >> >> []s Ronaldo L. Alonso >> > > > > > > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. > Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================