Determine a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos, ou seja, calcule
12 + 22 + 32 + ... +n2.
Solução:
Considere a identidade
(n + 1)3 = n3 + 3.n2 + 3.n + 1
já nossa velha conhecida, obtida da fórmula do cubo de uma soma
(a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, fazendo a = n e b = 1.
Vamos fazer sucessivamente, n = 0, 1, 2, ...,n na identidade acima:
n = 0: (0+1)3 = 13 = 03 + 3.02 + 3.0 + 1
n = 1: (1+1)3 = 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1
n = 2: (2+1)3 = 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1
n = 3: (3+1)3 = 43 = 33 + 3.32 + 3.3 + 1
n = 4: (4+1)3 = 53 = 43 + 3.42 + 3.4 + 1
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n = n: (n+1)3 = (n+1)3 = n3 + 3.n2 + 3.n + 1
Somando membro a membro as (n + 1) igualdades acima, vem:
13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n+1)3 =
13 + 23 + 33 + ... + n3 + 3(12+22+32+...+n2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
Nota: Observe que o número 1 aparece (n+1) vezes, daí, (n+1).1 = (n+1).
Simplificando a expressão acima, observando que os termos de expoente 3 cancelam-se mutuamente, fica:
(n + 1)3 = 3(12+22+32+...+n2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
Ora, a soma 12 + 22 + 32 + ... +n2 é justamente o que estamos procurando. Vamos chama-la de S.
A soma 1 + 2 +3 + 4 + ... + n é exatamente a soma dos n primeiros números naturais, os quais formam uma progressão aritmética de primeiro termo 1, último termo igual a n e número de termos igual também a n. Como já vimos no capítulo PA, tal soma é dada por:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2
Substituindo, fica:
(n + 1)3 = 3.S + 3.n(n+1)/2 + n+1.
Isolando o termo 3S, vem:
3S = (n+1)3 – (n+1) – 3n(n+1)/2
Multiplicando ambos os membros por 2, vem:
6S = 2(n+1)3 – 2(n+1) – 3n(n+1)
Colocando n+1 em evidencia no segundo membro, fica:
6S = (n+1)[2(n+1)2 – 2 – 3n]
Efetuando as operações indicadas no segundo membro, vem:
6S = (n+1)[2(n2+2n+1) – 2 – 3n]
6S = (n+1)(2n2 + 4n + 2 – 2 – 3n)
6S = (n+1)(2n2 + n)
6S = (n+1).n.(2n +1)
Finalmente, fica:
S = [n.(n+1).(2n +1)]/6
Achei interessante repassar este conteudo no qual tive acesso, de
Paulo Marques, http://www.terra.com.br/matematica
Onde eu extrai este conteudo []'s
