Bom, acho que tem algo a ver com os números de Bernoulli (que não têm fórmula fechada, mas quem disse que cos(x) é uma "fórmula fechada"?? (Isso foi para provocar...)
O truque é que estes números relacionam-se com a expansão de n^k em somas de binomiais da forma n^k = SOMA {em j} C(n, j) * B(k, j) (ou algo parecido, pode ter um k-j em vez de j). Daí, como eu falei numa mensagem anterior, é só usar a soma das colunas. Maiores detalhes, você pode encontrar no "Concrete Mathematics", R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Apr 9, 2005 11:21 AM, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Existe alguma especie de formula fechada para o caso > geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos n > primeiros naturais, em funcao de n e k. > > --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> > wrote: > > On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300, > > claudio.buffara wrote: > > > Ontem alguém perguntou aqui na lista como se > > demonstrava a fórmula da soma > > > dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos. > > > > Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstração. > > > > Na verdade este assunto já foi discutido várias > > vezes nesta lista > > e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos. > > > > Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f > > também como > > a única função de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n) > > = f(n-1) + n^2. > > > > É fácil ver que f é um polinômio de grau 3. De fato, > > considere a > > seguinte transformação linear: T(a,b,c) = (d,e,f) > > se, sendo > > g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) = > > dn^2 + en + f. > > A transformação linear T é bem definida pois os > > termos de grau 3 > > se cancelam; T também é injetora, pois g(n) - g(n-1) > > = 0 para todo n > > implica que g é constante logo, como não há termos > > constante em g, > > temos g = 0. Assim T é inversível. Note que o mesmo > > raciocínio > > demonstra que se h é um polinômio de grau k e se g > > satisfaz > > g(n) = g(n-1) + h(n) então g é polinômio de grau > > k+1. > > > > Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) = > > 0, f(1) = 1, > > f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3: > > a + b + c = 1 > > 8a + 4b + 2c = 5 > > 27a + 9b + 3c = 14 > > e podemos facilmente achar a, b e c. > > > > Mas acho mais elegante neste caso ver quais são as > > raízes de f. > > Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) = > > - (-1)^2 = -f(1), > > f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ..., > > f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n). > > Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a > > terceira raiz. > > Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substituição obteria > > o valor de c, > > mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3 > > donde c = 1/6. > > > > []s, N. > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. > Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================