Bom dia Nicolau: O que eu pensei foi: Pelo teorema fundamental da álgebra (tese de doutorado de Gauss) o corpo dos números complexos é fechado. Logo, a raiz cúbica de um número complexo tem que ser um número complexo.
Porém para cada raiz cúbica de um número complexo dentro das raízes cúbicas abaixo haverá 6 raízes cúbicas (12 se consideramos +-) cuja combinação duas a duas dará 3 raízes reais (o Maple deve ter feito isso). Mas eu me lembro que o método que eu utilizei foi uma construção geométrica. Vou tentar fazer o exercício novamente. []s -------------------------------------------------------------------- Nicolau escreveu: É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos (z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo, feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais: 2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.532088886 e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos para o maple resolver a cúbica, ele dá 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) 2 ----------------- + ----------------- 2 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) e outras duas raízes com expressões mais complicadas. ------------------------------------------------------------------ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================