>Pessoal,
>Preciso de ajuda nesse.
>Sendo X_1, ..., X_n uma amostra aleat�ria de uma N(mu, tau^2), calcule
>Var(sigma^2), onde sigma^2 = (1/n * Sum_{i = 1}^n (X_i - Xbarra) � o
>estimador de m�xima verossimilhan�a da vari�ncia.
Vamos primeiro interpretar o problema proposto:
Voc� tem uma gaussiana (para quem n�o sabe: � uma fun��o cujo gr�fico � uma
curva f:R-->R em forma de sino , se for unidimensional. Se for bidimensional
f: R^2 --> R o leitor pode pensar que de fato o gr�fico dela
� mesmo um sino :-) , claro que a grosso
modo) com m�dia mu e vari�ncia tau^2 no caso unidimensional. No caso
bidimensional ela � definida por algo chamado matriz de covari�ncia. Mas
como isso n�o foi mencionado suponho tudo unidimensional.
Da� voc� *amostra* (ou seja, discretiza)
essa fun��o em diversas amostras discretas X_1, X_2,..., X_n obtendo
portanto
um conjunto discreto.
A partir desse conjunto discreto voc� quer estimar *par�metros* para
uma
distribui��o que voc� sup�e ser desconhecida. Pelo que eu entendi, a
distribui��o que voc� quer reconstruir � novamente *gaussiana* e
tamb�m unidimensional.
Essa distribui��o ter� uma m�dia digamos nu e uma vari�ncia
que voc� diz ser sigma^2.
Muito bem. Vamos agora *qualitativamente* entender o que
acontece.
Quanto mais amostras voc� tomar, maior ser� a estimativa dos par�metros
que definem a densidade (no caso sua densidade � gaussiana e os par�metros
s�o m�dia e vari�ncia). Assim quando N --> \infty sigma^2 --> tau^2
e nu --> mu. Portanto espera-se que a estimativa de sigma^2
essencialmente:
1) Dependa de N.
Mas como quem *essencialmente* define a geometria da
gaussiana � a vari�ncia (no caso unidimensional) � de se esperar
que a estimativa de sigma^2 tamb�m:
2) Dependa de tau^2.
Com essas intui��es vamos pensar. sigma^2 � uma vari�vel aleat�ria.
Temos que evidentemente supor que no estado "mais rand�mico" essa
vari�vel tenha distribui��o gaussiana. Se N=1 ent�o n�o h� o que estimar:
A gaussiana tem vari�ncia zero, isto �, ela � um delta de Dirac.
Se N=\infty sigma^2 tem vari�ncia tau^2.
Ent�o sigma^2 � uma vari�vel aleat�ria (fun��o) cuja distribui��o toma
valores entre
0 e tau^2 dependendo de N. Agora eu quero uma express�o anal�tica
para a fun��o (vari�vel aleat�ria) sigma^2. Bem, eu j� tenho:
sigma^2 = (1/n * Sum_{i = 1}^n (X_i - mu)
basta substituir X_i pela sua express�o gaussiana e calcular a soma para
valores igualmente espa�ados de X_i. Esta soma depender� de N e
(possivelmente)
de mu.
Agora empaquei... Mas acho que qualitativamente � isso.
Se a vari�ncia da soma for igual � soma das vari�ncias ent�o n�o
haver�
mu na f�rmula e provavelmente
o resultado ser� (n�o fiz as contas... o sono subiu � cabe�a)...
Var(sigma^2) = (N-1) tau^2/ N
espero ter "dado a luz"... pelo menos se eu disse algum absurdo
(como esse), algu�m vai dar a luz lendo hahahaha... . :-) risos....
[]s a todos
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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