Ol�
Algu�m a� sabe onde � que eu posso encontrar o gabarito da 2a. fase de 2004 da olimpiada universitaria?
Eu (acho que) resolvi um exerc�cio, mas n�o consegui verificar. Ser� que voc�s poderiam dar uma olhada na resolu��o?
A fun��o deriv�vel f: R --> R tem as seguintes propriedades:
(a) f(0) = 0 e f(2) = 2.
(b) Para todo a real n�o nulo, a reta tangente ao gr�fico de f no ponto
P = (a, f(a)) corta o eixo x em um ponto A, e o eixo y em um ponto B,
de tal forma que A � ponto m�dio do segmento BP.
Calcule f(3).
Fiz o seguinte:
Seja T(x) a fun��o que representa a reta tangente ao gr�fico de f no ponto (a, f(a)). Ent�o:
T(x) = f(a) + f'(a) * (x - a)
Ent�o podemos verificar que as coordenadas dos pontos A e B s�o:
A = (- (f(a) / f'(a)) + a , 0);
B = (0, f(a) - a*f'(a));
Como A � m�dio de BP, ent�o temos que:
a / 2 = - ( f(a) / f'(a) )
(2f(a) - a*f'(a) ) / 2 = 0
Ent�o vem:
f'(a) / f(a) = 2 / a
Mas f'(a) / f(a) = [ ln |f(a)| ]' e 2 / a = [2ln|a|]' ==> ln
|f(a)| = 2 ln |a| + C ==>| f(a) | = e^(2 *
ln |a|) * e^C
Seja k = e^C. Ent�o | f(a) | = k*|a|^2
Logo, | f(a) | = k * a^2.
Mas como f(2) = 2, temos que | 2 | = k * 2^2 ==> k = 1/2.
Como f(x) � cont�nua (pois � deriv�vel) e � crescente estrita, ent�o f(3) > f(2) = 2 > 0.
Ent�o f(3) = 1/2 * 3^2 ==> f(3) = 9/2.
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Bruno Fran�a dos Reis
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e^(pi*i)+1=0
