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> Oi! Acabei de entrar na lista. Sou uma menina de 14 anos que, por incr�vel
que pare�a,
>adora matem�tica (apesar de eu ser perfeitamente normal, viu?)
Bem vinda � lista. Acredito que h� bastantes pessoas t�midas e com medo
de se apresentar que est�o cadastradas. Mas humildemente n�o vejo
o porqu�. Todos tem o direito de ler e aprender.
O professor Nicolau certamente concorda com isso.
Acho bastante importante pessoas mais jovens participarem:
Alguns problemas parecem simples (como o teorema de Fermat), mas mesmo
os "experts" demorariam anos para resolver, ao passo que algu�m de 14 anos
como Evarist Galois resolverira em minutos. Por isso acho que vc tem mesmo
que se aprofundar! Dou a maior for�a. Gostaria que minha irm� de 17
gostasse
de matem�tica assim... Mas ela gosta de filosofia ... enfim.
> Mas, seno um pouquinho aborrecente, eu gostaria que alguem me explicasse o
que � o
>conjunto dos complexos e o que o � de fato a misteriosa raiz(-1). Vou
tentar colocar
>minha d�vida: inicialmente t�nhamos o conjunto dos naturais N =
{1,2,3......} (meu prof.
>convenciona que 0 n�o � natural), que parece que � considerado primitivo,
inerente ao
Voc� est� indo bem! Vamos a hist�ria de Leopold Kronecker (ou seria Paul
Maurice
Dirac?) n�o me lembro qual dos dois. Foram pessoas brilhantes.
Um deles achava que os n�meros naturais eram perfeitos no sentido de que
algo
que n�o fosse "natural" era inconceb�vel na natureza e que os outros tipos
de n�meros
n�o existiam. Essa quest�o � epistemol�gica (epistemologia � a ci�ncia que
estuda
a origem das id�ias cient�ficas). Mas talvez n�o dev�ssemos ir muito a
fundo, pois
mais adiante na vida voc� vai descobrir que � imposs�vel axiomatizar a
matem�tica toda.
Vamos aceitar que os n�meros todos existem, inclusive os complexos.
>isto? (Eu nunca consegui entender este processo de cria��o dos
>irracionais, uma vez li alguma coisa sobre cortes de Dedekind mas confesso
que n�o
>entendi quase nada, me confundi toda)
Eu tenho 30 anos e ainda n�o (!!!) n�o entendi os cortes de
Dedekind ...
Talvez o Cl�udio explique para a gente ou algu�m mande um link.
O que eu posso dizer para voc� � algo sobre a cardinalidade desses
conjuntos:
O conjunto dos racionais (ou dos inteiros) � denumer�vel. Isto �, voc� pode
coloc�-los em correspond�ncia biun�voca com os naturais. J� o conjunto dos
n�meros irracionais n�o � denumer�vel.
Outra coisa interessantes � que n�o � poss�vel
preencher R^2 com R^1 (procure curva de Peano (ou seria Hilbert) no Google).
D� uma olhada tamb�m no
livro de Seymor
Lipschutz - General Topology - Schaum Outline - Cap�tulo I para entender
melhor esses conceitos. Deve ter em portugu�s.
> Bom, a� verificaram que os reais ainda n�o resolviam, pois n�o pod�amos
calcular ra�zes
>pares de n�meros negativos, como a misteriosa raiz(-1). A� � que me
confundo.
>Definiram ent�o i = raiz(-1), simplesmente deram um nome i de imagin�rio a
raiz(-1). E >criou-se um conjunto, o dos complexos, atribuindo-se a ele
aquelas mesmas regras dos
>reais (soma, multiplica���o, propriedades comutativas, associativas e
distributivas, coisa
>que j� estudei e acho que entendi). Mas a misteriosa raiz(-1) ficou sendo
simplesmente
>i, quer dizer, me parece que desta vez n�o resolveram o problema, apenas
deram um
>nome � raiz(-1). Certamente n�o � isto, mas pra quem olha assim de fora
parece um
>pouco de enrola��o. At� ent�o, os matem�ticos vinham resolvendo os
problemas das
Essa � uma longa hist�ria.
De fato ningu�m mesmo (!!!) acreditava que poderiam
existir n�meros desse tipo. Antes dos n�meros complexos existiam os
"quartenions",
que possuiam regras bem definidas, se n�o me engano, para adi��o e
multiplica��o.
Foi quando surgiu o g�nio Karl Frederich Gauss e (se n�o me engano um
aluno
seu Argand) que identificaram geometricamente os n�meros complexos com
pontos
no plano cartesiano. Como "ver � crer" ent�o o pessoal come�ou a
interpretar
melhor isso. Gauss em sua tese de doutorado provou que os n�meros complexos
formavam um corpo (veja alguns e-mails recentes sobre o conceito de corpo) e
mais: Toda equa��o alg�brica de grau n possu�a exatamente n raizes neste
corpo.
Exemplo: Uma equa��o do segundo grau *sempre* sempre duas ra�zes
complexas,
uma equa��o do terceiro grau *sempre* tem tr�s ra�zes complexas.
Outro exemplo: A equa��o x^3 = 1 n�o tem s� uma solu��o como se
pensava.
Ela tem 3 solu��es: 1, 1/2 - raiz(3)*i / 2, 1/2 + raiz(3)*i / 2!
Esse teorema � o teorema fundamental da �lgebra: O corpo dos n�meros
complexos � *fechado* sob as opera��es dele definidas.
Com a palavra conjunto fechado em rela��o � uma opera��o, queremos
dizer que
se pegarmos dois elementos deste conjunto e aplicarmos uma opera��o o
elemento
resultante continua caindo dentro do conjunto. Exemplo: pegue dois
naturais e
some. O resultado ser� um n�mero natural. Dizemos ent�o que o
conjunto dos n�meros naturais � fechado sob a opera��o adi��o.
Veja um livro de hist�ria da matem�tica - vai ser uma leitura legal.
>opera��es nos conjuntos, mas quando chegou nos complexos definiram i =
raiz(-1) e
>expandiram R criando os complexos assumindo a validade das leis que valem
nos reais.
>Ali�s, eu tenho um primo que faz engenharia el�trica e ele me
>disse que em eletricidade usa-se j para raiz(-1), pois i � tradicionalmente
reservado para
>corrente el�trica.
Em eletr�nica os n�meros complexos s�o �teis para modelar a defasagem
entre
duas ondas senoidais. Imagine dois vetores girando no c�rculo em velocidade
constante com um �ngulo fixo entre eles. As coordenadas x e y desses
vetores
descrevem ondas senoidais.
A soma destas ondas (no tempo) vai depender da posi��o dos vetores. Se o
�ngulo
entre eles for zero significa que as ondas est�o sincronizadas a a "onda
soma" ter�
o dobro da amplitude. Se os "vetores girantes" forem opostos, a soma
destes vetores
ser� zero (respectivamente a soma das ondas ser� zero (amplitude zero) --
pois
elas est�o em oposi��o de fase). Como vc mesmo disse vetores no plano
e n�meros complexos podem ser identificados.
Tem uma s�rie de TV com anima��es -- Beyond the Mechanical Universe de
David Goodstein -- onde na parte sobre circuitos el�tricos isso � bem
ilustrado cinematograficamente :)
>
> Eu entendo que os complexos s�o algo como o R^2, quer dizer, pares
ordenados de
>ingl�s sobre complexos, do Rudin, mas nao entendi ABSOLUTAMENTE NADA, nem a
introducao...
Quando estudei n�meros complexos eu pensei:
Por que n�o criaram os "n�meros perplexos"?
Tipo, voc� coloca 1/0 = p e da� a equa��o 0.x = 1 tem solu��o. Tudo
bem, mas
p poderia ser qualquer n�mero complexo! Ent�o n�o faria sentido ter
"n�meros
perplexos" -- S� pra confundir um pouquinho :) Leve na esportiva ;- )
[]s Ronaldo L. Alonso
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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