Vamos passar a limpo.
Os resultados seguintes sao do livro de R.A Johnson e Dean W. Wichern (Applied Multivariate Statistical Analysis)


I - Seja A uma matriz kxk simetrica. Entao A tem k pares de autovalores e autovetores, a saber:
c1, e1, ..., ck, ek
Os autovetores podem ser escolhidos de forma a satisfazer
1 = e1'*e1 = ... = ek'ek e serem mutalmente perpendiculares. Os autovetores sao unicos a menos que dois ou mais autovalores sejam iguais


II - A decomposicao espectral de uma matriz kxk simetrica A é dada por
A = c1 e1'*e1 + ... + ck ek'*ek

Dei um append nas suas duas mensagens e vou comenta-las abaixo.

Claudio Buffara wrote:

on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:


Obrigado Claudio.
Alias, sobre a sua afirmativa "u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1
autovalores são iguais a 0."  veja, por gentileza, se o meu argumento
esta correto:

Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira
A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes.
Como A tem posto 1 e os autovETORES sao l.i só se pode ter um autovalor
diferente de 0.


Essa expressao para A nao me parece obvia a priori. Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.? Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0).

Quando voce diz que os autovetores serao LI se os autovalores correspondentes forem distintos, considere
u' = (4 2 7 6)
Fiz as continhas no Mathematica, e veja
u'*u =
{{16, 8, 28, 24}, {8, 4, 14, 12}, {28, 14, 49, 42}, {24, 12, 42, 36}}


eigenvalues = {105, 0, 0, 0}

eigenvectors = {{4, 2, 7, 6}, {-3, 0, 0, 2}, {-7, 0, 4, 0}, {-1, 2, 0, 0}}

MatrixRank[eigenvectors] = 4 (!)

Veja que autovalores iguais deram origem a autovalores L.I (pois a matriz formada pelos 4 autovetores tem posto = 4).

O que eu falei estava errado pois na expressao
A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
eu estava interpretando (talvez por bebedeira) como a compoiscao de A coluna por coluna, ou seja ignorando o fato de que em'*em é uma matriz.




> A sua formula nao estah certa.
> Se e1 eh um autovetor, entao, para qualquer escalar k <> 0, k*e1 >tambem eh
>autovetor associado ao mesmo autovalor, mas (k*e1)*(k*e1') = >k2*(e1*e1').
>Logo, a sua expressao para A nao pode estar certa, a menos que A = 0 e,
>portanto, cada ei = 0.
>
>Por exemplo, seja A =
>5 2
>2 2
>
>Polinomio caracteristico: t2 - 7t + 6 ==> autovalores: 1 e 6.
>Os autovetores associados sao, respectivamente:
>(1,-2)^t e (2,1)^t
>
>Pela sua formula, teriamos:
>A =
>13 22
> 4 16
>mesmo normalizando os autovetores (no caso, multiplicando-os por >1/raiz(5)),
>ainda nao obteriamos a expressao correta.
>De onde voce tirou isso?


Os autovetores sao
{2,1} e {-1,2}

Tirando o fato que eu esqueci de omitir (e voce citou) que os autovetores deveriam ser normalizados o resultado (II) é confirmado pelo Mathematica (ao que parece voce apenas errou ao calcular os autovetores)
Concorda?



Abraços

Niski






========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================

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