Ola Bruno,
E otimo que voce saiba tao prontamente que as coisas sao assim. Comigo foi diferente. Eu demorei muito pra acreditar nisso ... O argumento decisivo foi um artigo do Godel, que eu li alguns anos atras.
Leia o livro que indiquei. Voce vai realmente se enriquecer muito, ter respostas a todas as perguntas que formulou aqui e saber efetivamente como e feito Matematica de qualidade. Alem disso, nao sera mais iludido por historietas e bravatas tao comuns neste meio.
A definicao i=sqrt(-1) NAO E INCORRETA, talvez, seja mal formulada... O numero complexo a=(0,1) tem a propriedade : a^2=(-1,0) e identificamos (-1,0)=-1. Assim, e "certo" falar que em C há um numero que é a raiz quadrada de -1 DEVIDO A IDENTIFICACAO PREVIA que faz com R esteja imerso em C. Disse que talvez seja mal formulada. Falei isso porque supondo i=sqrt(-1) somos levados a supor que podemos operar com sqrt(-1) como operamos com qualquer RAIZ DE NUMERO REAL POSITIVO, o que e falso : as propriedade valem para radicando positivo. Veja abaixo :
i=sqrt(-1)=> i^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt(1)=1 ... absurdo !
Portanto, i=sqrt(-1) e uma interpretacao aceitavel, mas nao podemos tratar essa raiz como se fosse a raiz de um numero real positivo.
Agora, vou dizer algo que voce ja sabe e todos vao confirmar : as diversas exposições de uma teoria sao equivalentes se levam aos mesmos resultados... O que e axioma em uma vira teorema em outra e vice-versa. Escolher uma exposicao em particular e muito mais uma questao didatica e de gosto pessoal ( subjetiva ) que cientifica, pois e o professor que sabera determinar qual caminho é mais adeguado a turma que ele tem.
Agora vou dizer uma coisa que talvez voce nao saiba e com a qual nem todos vao concordar : cada exposicao de uma mesma teoria com pressupostos diferentes sao possiveis janelas para a imersao desta teoria em outras, provavelmente mais amplas ... Isto e uma questao de "feeling" ... colocando as formas de um "certo jeito" fica mais inferir possiveis ampliacoes. Segue um exemplo trivial :
A soma dos termos de uma PA e o seguinte :
Sn = [ N(A1+An) ]/2
Mas podemos colocar igualmente assim :
Sn = [N(A1 + A1+(N-1)*r]/2=[N(2*A1 + (N-1)*r)]/2=N*A1+[N*(N-1)*r]/2= A1*Binom(N,1) + r*Binom(N,2)=A1*Binom(N,1) + (A2-A1)*Binom(N,2)
Aqui, Binom(N,P)=Numero binomial de numerador N e denominador P. Se N<P entao Binom(N,P)=0. As duas exposicoes sao equivalentes e levam aos mesmos resultados, mas qual delas voce acha que sugere uma generalizacao natural ? Claramente : a segunda !
De fato, se A1, A2, A3, ... e uma progressao aritmetica de segunda ordem (PA2), isto e, se A2-A1, A3-A2, A4-A3, ... e uma PA (PA1) entao :
Sn=A1*Binom(N,1) + (A2-A1)*Binom(N,2) + (A3 -2*A2 + A1)*Binom(N,3)
E a formula da soma para os termos de uma PA2 (Prove isso, e trivial. E a seguir, generalize ). Claramente que voce pode generalizar para o caso de uma PAn, isto e, uma progressao aritmetica de ordem N. Voce portanto descobriu "a cara" do polinomio, nao precisando mais portanto resolver sistemas para encontrar o polinomio soma ( Note que o Conway, no "Livro dos Numeros", nao conhece esse resultado e muitas outras pessoas tambem. Talvez voce queira publicar um artigo sobre isso. )
Mas, mantendo-se fiel ao tema, quis mostrar objetivamente o que falei, vale dizer, que as diversas maneiras de expor um mesmo tema, no dominio mais alto da investigacao, sao, em verdade, janelas que se abrem para possiveis ampliacoes e descobertas. E necessario "feeling", isto e, intuicao, e nao logica ou raciocinio, para voce identificar a colocacao que "sinaliza" a sua propria superacao ...
Assim, e bom voce saber as diversas maneiras de olhar um mesmo tema !
Bom, deixa eu ir que o trabalho me chama. Um Abracao pra voce !
E com os melhores votos de paz profunda, sou, Paulo Santa Rita 3,1011,030505
From: "Bruno Bonagura" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: <obm-l@mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] i^2 = -1 ?? Date: Tue, 3 May 2005 02:25:32 -0300
Sei muito bem que nada na matemática é inventado, apenas não encontrei outro
termo melhor para formular minha pergunta. Sei também que se passaram muitos
séculos de estudo para teoria completa de numeros complexos ser atingida.
Apenas quero saber a ordem em que as coisas vieram aparecendo durante o
desenvolvimento da teoria. De acordo com as respostas que obtive cheguei a
conclusão que a teoria se originou na álgebra pura e não na geometria como
eu cheguei a imaginar. Obrigado pela sua resposta e a de todos os demais!
E tenho mais uma dúvida. Dizem que a definição i = sqr(-1) é incorreta pois leva a uma falácia, mas ja vi em muitos sites, em livros famosos e até em provas de vestibulares essa definição. Ela é realmente incorreta ?
Obrigado Bruno Bonagura
----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <obm-l@mat.puc-rio.br> Sent: Monday, May 02, 2005 9:58 AM Subject: RE: [obm-l] i^2 = -1 ??
> Ola Bruno,
>
> Ninguem INVENTOU os números complexos : os Matematicos - sobretudo
italianos
> - do Renascimento foram os primeiros que foram obrigados a considera-los
com
> maior seriedade quando estudaram as equacoes do terceiro grau ... Nestas
> equacoes, quando previamente sabemos que existem tres raizes reais, a
> aplicacao da formula que eles haviam descoberto leva a extracao de raizes
> quadradas de números negativos, isto e, a numeros complexos.
>
> Mas ha referencias anteriores sobre eles.
>
> O Gauss, com justica, gozava de grande prestigio na Europa e a sua tese
> doutoral, o Teorema Fundamental da Algebra, usava com naturalidade estes
> "numeros imaginarios", o que levou os matematicos de entao a aceitarem
mais
> tranquilamente estes numeros. Digamos portanto que os Matematicos
italianos
> DESCOBRIRAM a necessidade de considerar seriamente estes numeros e Gauss
> consolidou o uso deles.
>
> Como quase tudo em Matematica, as grandes ideias nao surgem de uma
> formalizacao previa ... As pessoas fazem experiencias numericas,
> verificacoes e so posteriormente, em geral, muito posteriormente, surge a
> formalizacao. Os objetos matematicos EXISTEM no mundo proprio deles
> independente de alguem pensar neles ou nao. NENHUM MATEMATICO INVENTA
ALGUMA
> COISA,ou, se muito, "se inventa, sao coisas sem importancia" (Penrose) .
Ele
> tao somente DESCOBRE.
>
> O contato com esse mundo, claramente, envolve uma alta dose de
> subjetividade, pois cada um pensa ao seu modo, mas, em geral, envolve
muitas
> experimentacoes, muitos erros, muitas verificacoes numericas e postulacoes
> mal sucedidas. A formalizacao surge muito depois, em geral feita por
> outra(s) pessoas. E muito provavelmente e um processo iniciatico, onde o
> emocional e fundamental.
>
> Assim, ninguem teve de imediato a ideia cintilante que deveria criar um
> numero "i" tal que i^2=-1 e, a seguir, apresentou um conjunto de axiomas
que
> resolveria todos os problemas associados. Para chegar a este nivel
> passou-se, pelo menos, 2 seculos, só para voce ter uma leve ideia de como
as
> coisas realmente sao.
>
> As exposicoes didaticas e as demonstracoes matematicas, por inumeras
razoes,
> precisam ser sucintas e passam a falsa ideia de uma coisa acabada,
completa.
> Em verdade, procedendo assim, eles escondem uma imensa hipocrisia, pois
> aquilo que estudamos foi consolidado ao longo de um extenso caminho,
> pontilhado com contribuicoes diversas de diversos Matematicos. E por isso
> que e MUITO IMPORTANTE o estudante ler um pouco sobre a historia do
> desenvolvimento das ideias, pois assim ele nao tera duvidas como estas que
> voce expoe e aumentara significativamente a sua compreensao de contexto e
> sensibilidade matematica.
>
> O FORMALISMO, mesmo poderando a sua importancia na faculdade de permitir
> apresentar de forma sucinta e breve um resultado, e, didaticamente, um
> crime, pois omite o desenvolvimento das ideias e passa uma impressao
errada
> de como se faz matematica; e tambem um fracasso filosofico, pois assim
Godel
> mostrou. Leia do "Livro do Boyer, Historia da Matematica", e todas as suas
> duvidas serao esclarecidas e voce fara uma grande aquisicao pra sua
> biblioteca particular.
>
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