On Fri, May 06, 2005 at 10:31:32PM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 06.05.05 17:22, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote: > >> Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos > >> complexos? > > > > Sim, ambos s�o Q-espa�os vetoriais de mesma dimens�o (card(R)). > > Como eh que se demonstra que dois espacos vetoriais sobre o mesmo corpo com > mesma dimensao infinita sao isomorfos? Onde entra o axioma da escolha? Soh > na existencia das bases?
Em geral, voc� precisa do axioma da escolha para provar que espa�os vetoriais de dimens�o infinita t�m bases. Nestes casos particulares (C e R como Q-e.v.) eu sei que voc� precisa de alguma vers�o do axioma da escolha. � consistente com ZF (teoria dos conjuntos usual sem o axioma da escolha) que todo subconjunto de R seja Lebesgue mensur�vel. No entanto � f�cil, dada uma base para R como Q-e.v., construir um subconjunto A de [0,1] tal que uma uni�o disjunta de uma quantidade infinita e enumer�vel de transladados de A cont�m [b,c] e est� contida em [a,d], a<b<c<d. Por outro lado eu n�o sei dizer se � poss�vel construir o isomorfismo que voc� pediu inicialmente sem o axioma da escolha. Quanto a sua outra pergunta, sejam V1 e V2 dois espa�os vetoriais sobre o mesmo corpo K. Sejam B1 e B2 bases de V1 e V2, respectivamente. Seja f: B1 -> B2 uma bije��o. Ent�o podemos estender f de forma unica a uma transforma��o linear F: V1 -> V2 e n�o � dif�cil provar que F � isomorfismo. Falando neste tipo de coisa, quase todos os espa�os vetoriais de dimens�o infinita que aparecem em an�lise funcional t�m dimens�o (no sentido alg�brico) igual a c, o cardinal de R. Um outro teorema bem mais dif�cil e profundo diz que quaisquer dois espa�os de Banach de dimens�o infinita e separ�veis s�o homeomorfos. O por�m � que o isomorfismo como espa�o vetorial � muito descont�nuo e o homeomorfismo n�o � linear. Assim dois espa�os de Banach em geral (com hip�teses bem razo�veis) s�o isomorfos no sentido alg�brico e s�o homeomorfos, mas nem por isso s�o isomorfos como espa�os de Banach. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
