Oi Cl�udio, Creio que o caso 0< x <e^(-e) tamb�m � interessante. Mas vc j� o resolveu: fez o mais dif�cil, que � explicar que a sequ�ncia � limitada e converge alternadamente para dois valores. Isto �, formam-se duas sequ�ncias crescentes e limitadas (portanto convergentes!) intercalando os valores de a[n].
Quanto aos valores de ader�ncia, dado 0< x <e^(-e), temos: ... a[n] = A a[n+1]= x^a[n] = x^A = B a[n+2]= x^a[n+1]=x^B = A a[n+3]= x^A = B ... Assim temos: A*ln(x) = ln(B) e tamb�m B*ln(x) = ln(A) => Ou seja, dado x, A e B ser�o a sol. do sistema de equa��es: (1) -> A*ln(x) = ln(B) (2) -> B*ln(x) = ln(A) A e B s�o positivos, pois x � positivo. Observando as express�es (1) e (2) e considerando que ln(x) � um n�mero negativo (porque0< x <e^(-e)), conclu�mos que A e B s�o menores que 1. Isto �, supondo por hip�tese que A>B, temos 1>A>B. De fato, quando x tende a 0, A->1 e B->x, pois A = ln(B)/ln(x). Por exemplo, com x =0.000005 temos B =~ .0000050037288 e A=~ .999938925988 []�s Dem�trio --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > OI, Demetrio: > > Segue abaixo uma solucao detalhada para o problema > de se determinar os > valores de x tais que a sequencia (a(n)) dada por > a(1) = x e a(n+1) = x^a(n) > converge. O caso 0 < x < 1 foi feito pelo Marcio > Cohen. > > Repare que o meu enunciado na minha mensagem > anterior estava errado: de > fato, a sequencia converge apenas com x em > [e^(-e),e^(1/e)]. > > Talvez seja interessante ver o que acontece quando 0 > < x < e^(-e). Nesse > caso, a sequencia eh limitada (0 < a_n < 1, para > todo n) e, portanto, possui > alguma subsequencia convergente. Assim, dado x, > quais os valores de > aderencia de a_n? > > []s, > Claudio. > > *** > > Se x = 1 entao a_n eh obviamente constante e igual a > 1. > > Assim, suponhamos que x > 1: > 1) (a_n) � crescente. > Dem: > a_1 = x > 1 > a_2 = x^x > x^1 = x = a_1 > Suponhamos que a_n = x^a_(n-1) > a_(n-1). > Teremos, ent�o que a_(n+1) = x^a_n = x^(x^a_(n-1)) > > x^a_(n-1) = a_n. > Logo, por indu��o, o resultado est� provado. > > 2) Se 1 < x <= e^(1/e), ent�o, para todo n, a_n <= > e. > Dem: > a_1 = x <= e^(1/e) < e > a_2 = x^x <= (e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e > Suponhamos que a_n <= e. > Ent�o, a_(n+1) = x^a_n <= (e^(1/e))^a_n <= e^(e/e) = > e^1 = e. > Logo, por indu��o, o resultado est� provado. > > Assim, se 1 < x <= e^(1/e), ent�o a_n � crescente e > limitada. Logo, > converge. > > Em particular, se x = e^(1/e), teremos que lim a_n = > e. > > 3) Se x > e^(1/e), ent�o (a_n) � crescente e > ilimitada. > Dem: > J� provamos acima que (a_n) � crescente. > Suponhamos que exista K > 0 tal que, para todo n, > a_n < K. > Nesse caso, dever� existir L = lim a_n. > Assim, L = x^L > (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==> > ln(L) > L/e ==> > contradi��o, pois para todo x > 0, ln(x) <= x/e ==> > n�o existe lim a_n ==> > como (a_n) � crescente, n�o pode ser limitada. > > *** > > Considere o caso 0<x<1. Entao, x^x < x (pois a > funcao h(y)=a^y eh > decrescente para a em (0,1)), i.e a2 < a1. > Do mesmo modo, x^(x^x) > x^x, i.e, a_3 > a_2 > (agora usando a = x^x). > Com a = x^(x^x), vc conclui que a_4 < a_3. > Sendo composta de duas funcoes decrescentes, a > funcao h(y) = x^(x^y) eh > crescente, e portanto a_1 < a_3 (y=x e y=0) e em > geral: > a_1 < a_3 < a_5 < ..... < a_6 < a_4 < a_2 > A sequencia (a_n) tem portanto dois valores de > aderencia, que > vamos chamar de A1 e A2. Ela converge sse esses > valores forem iguais. > Observe q a subsequencia impar e par que satisfazem: > a_n+2 = x^(x^a_n). Os > valores de aderencia satisfazem portanto Ai = > x^(x^Ai), A1 = x^(A2) e A2 > = x^(A1). > Considere entao a funcao h(y) = x^(x^y) - y. > Essa equacao sempre tem ao menos uma raiz (que vou > chamar de L'), que eh a > raiz de g(y)=x^y-y (fazendo o grafico, como x < 1, > x^y eh decrescente e y > eh crescente, logo ha no maximo uma raiz. Analisando > os valores em y=0 e y=1 > garantimos que essa raiz de fato existe). Note que > a_n, caso seja > convergente, vai para L'. > h'(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^2 - 1 > h''(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^3 * ( 1 + (x^y)*lnx > ) > Como h'' tem no maximo uma raiz em (0,1) (soh o > ultimo parentesis acima pode > se anular), vemos que h tem no maximo 3 raizes em > (0,1) (pelo tvi, 4 raizes > de h implicam ao menos 3 de h', ..) > 1o caso: h'(L') > 0. Desenhando o grafico, vc ve > que h tem tres raizes > L1<L'<L2 nesse caso (mais formalmente, h(0)=x > 0, > h(L'-eps)<0, h(L'+eps)>0 > e h(1)=x^(x) - x < 0). > Alem disso, nesse caso a seq. diverge, pois ou > ela comeca de a_1 = x <= > L1 e nesse caso a subsequencia impar fica limitada > por L1 (inducao) nao > podendo nunca chegar em L', ou entao, se L1 < x, > como h(0)>0 e > h(x)=x^(x^x)-x > 0, temos ao menos duas raizes em > (0,x), e portanto L'< x, > de modo que (a_n) nao pode convergir para L' (pois a > subseq. impar eh > crescente). > 2o caso: h'(L') <= 0. Nesse caso, � imposs�vel > haver 3 ra�zes L1 < L' < > L2 (pois isso traria ao menos 2 ra�zes em (0,L') (ja > que h(0)*h(L'- eps)>0) > e mais duas em (L', 1), totalizando mais de 3 > raizes. Portanto, nesse caso > a serie converge (pois se ela divergisse, a equacao > teria como solucao pelo > menos os dois valores de aderencia distintos A1 < > A2, alem do ponto fixo L', > sendo que L' != A1,A2 (se L'=A1, entao A2 = > x^(A1)=x^(L')=L'=A1). > Logo, a_n converge sse h'(L') <= 0 sse (L')^2 * > (lnx)^2 <= 1 sse (ln > L')^2 <= 1 sse e^-1 <= L' <= e sse L' >= e^-1 (pois > claramente L'<1<e). > Agora, x = L' ^(1/L'), e a funcao f(y) = y^(1/y) eh > crescente para y<e > (f'(y) = f(y)*(1-lny)/y^2), logo L'>= 1/e sse x >= > (1/e)^e = e^(-e). > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ____________________________________________________Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espa�o gr�tis! http://mail.yahoo.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
