Olá Demétrio: >Seja uma equação do tipo f(x) - x = 0 com uma raiz Xr. >Seja uma sequência tal que x[1] = k; x[n+1] = f(x[n]) >O valor inicial da sequência(estimativa inicial para >Xr) é arbitrário, de forma que k = Xr + A, onde A é o >erro na estimativa inicial. >Assim: >x[2] = f(k) = f(Xr+A) = Xr + B; >x[3] = f(Xr+B) = Xr + C; >Para simplificar o raciocínio, vamos impor a pesada >condição de que em todo o intervalo [Xr-A, Xr+A], >|df(x)/dx| < 1, isto é, o módulo da derivada de f(x) é >menor que 1 no intervalo entre a raiz procurada e o >erro na estimativa inicial. >Acho que esta condição garante a convergência, pois >neste caso sempre teremos A>B>C.... >É verdade que as restrições são tão fortes que >provavelmente isso não conduz a nada útil.
Engano. Mas seu esforço é bastante interessante. Talvez descubra algo interessante com ele. Esse resultado é frequentemente usado em sistemas dinâmicos. De fato ele não permite apenas achar pontos fixos de f(x) = x como também órbitas periódicas de período 2 (f o f) (x) = x desde que no intervalo I, |f'(x_1)|.|f'(x_2| <1 com a condição de que x_1 e x_2 pertençam a I. Pode-se achar também órbitas de período 4: (f o f o f o f ) (x) = x desde que | f'(x_1)|. | f'(x_2)|. | f'(x_3)|. | f'(x_4)| < 1 e x_1,x_2,x_3,x_4 pertençam a I (a duplicação de período das órbitas é conhecida em sistemas dinâmicos com o nome de bifurcação). Plotando os x_i em função de \mu temos o famoso "diagrama de bifurcação". Vale lembrar o teorema de Sarkovskii, período 3 ==> CAOS. Em outras palavras: Se tivermos uma órbita periódica de período 3 teremos também órbitas periódicas de todos os períodos. Assim temos podemos ordenar os números naturais de acordo com a cascata de bifurcações de Feigenbaum: 1 <] 2 <] 2^2 <] 2^3 <] ... 3.2^2 <] 3.2^3 <] .... <] 3 Geralmente as bifurcações são governadas por parâmetros de ordem. No mapa logístico por exemplo: F_{\mu}(x) = \mu x (1-x). \mu é um parâmetro de ordem. Se \mu é pequeno temos apenas um ponto fixo diferente de zero e atrator (pois todas as soluções na variedade estável de (0,1) convergem para ele). Ao aumentarmos \mu começamos a dobrar o período da órbita até um valor crítico \mu_{\infty} onde temos órbitas periódicas de todos os períodos e uma órbita densa. Na condição de caos (\mu =4) a aplicação é sobrejetiva (f:[0,1] --> [0,1]) e o mapa logístico é ergódico (os conjuntos invariantes ou tem medida zero ou tem medida um) -- de fato o conjunto de medida zero é justamente o conjunto de Cantor em [0,1] que é obtido fazendo-se: INTERSEC_{n=-infty}^{infty} f^(-n) [ I ] onde I é [0,1] f^(-n) significa a composta de f com ela mesma n vezes. Isso ocorre pois a imagem inversa de um compacto por uma aplicação contínua é um conjunto compacto e a intersecção de compactos encaixados é compacto - que pode ou não ter medida zero - neste caso tem. O conjunto de Cantor que é um caso particular de fractal. Para maiores informações: [1] Clark Robinson: Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamics and Chaos [2] Bao Lin: Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems. [3] Katok and Hassemblat: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. []s a todos. Ronaldo L. Alonso ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================