Se � pra calcular via programa�ao, existe uma formula p/ f(n) = n - S(n) , onde S(n) � a soma dos digitos de n na base 2(bits)....entao basta fazer um pequeno loop de n = 1 ate 1023 e calcular o resultado... Essa formula � uma consequencia daquela famosa formula do calculo da potencia de um primo de n!, que alias, tambem da pra ser usada pra se calcular essa soma, � somente vc perceber que, por exemplo, entre 513=2^9 + 1 e 1023=2^10 - 1 , vc dividir� cada numero deste intervalo por 2, 2^2, 2^3 ...ate 2^9 entao , sem considerar a fun�ao piso aplicada a cada um, pode-se fazer (1/2 + 1/2^2 ...1/2^9)(513 + 514...1023) e calcular a fun�ao piso deste resultado...Aplica-se esse raciociocio pra todas as potencias de 2 restantes e soma-se todos os resultados...o resultado dever� ser muito proximo do resultado real, coisa de unidades a mais, j� que a fun�ao piso nao esta sendo aplicada de forma totalmente correta a partir da formula original.... Quem nao souber do que eu estou falando veja em: http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html
--- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Na minha resolu��o anterior, eu acabei confundindo > D_x = 1 + 2 + ... + 2^x > por n�o ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + > 2^x, e acabei, em vez > de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as pot�ncias > de 2... Por isso o erro! > > Espero ter consertado... abaixo, a resolu��o > devidamente alterada. Agora > encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que � > algo mais pr�ximo da estimativa > num�rica do Bruno, e me parece estar tudo certo > desta vez. > > Ok! > > Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). � f�cil ver > que f(2n + 1) = f(2n), > e tamb�m que f(1) = 0. Se B_k = n�mero de m�ltiplos > de 2^k menores ou iguais > a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um > certo x, k>=x implica B_k > = 0). > > Como B_k � a parte inteira de n/2^k (denota-se > [n/2^k]), isto �, o �nico > inteiro tal que B_k <= n/2^k < B_k + 1, temos f(n) = > [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] > + ... . Por essa raz�o, f(2n + 1) = f(2n) = n + > [n/2] + [n/2^2] + ... = > n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) > = 2*(f(2) + f(4) + > f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... > + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) > = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 > + 4 + 5 + ... + 2^x. > > Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) > + 1) - f(2^(k-1)), > assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + > 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). > > Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + > ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 > + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - > f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1) > + 1) - 2^(k-1) + 1. > > Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) > - 1)^2 + 2^(k-1) + > 1. > > A id�ia ent�o � calcular S_1023 usando S_1023 = > S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 > + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o > racioc�nio de h� pouco, chegaremos > a > > S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + > 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 > + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 > + ... + 2^8*(2 - 1)^2. > > Ap�s algumas manipula��es e sabendo que S_3 = 1, > chegamos a S_1025 = 2^19 > - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = > 2^10 - 1, vem que S_1023 > = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. > > [], > Daniel > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > "O Bin�mio de Newton � t�o belo como a V�nus de Milo. O que h� � pouca gente para dar por isso... " Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _________________________________________________________________ As informa��es existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) s�o para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso n�o seja destinat�rio, saiba que leitura, divulga��o ou c�pia s�o proibidas. Favor apagar as informa��es e notificar o remetente. O uso impr�prio ser� tratado conforme as normas da empresa e a legisla��o em vigor. Agradecemos sua colabora��o. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ____________________________________________________Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espa�o gr�tis! http://mail.yahoo.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
