(1) A demonstração da parte somente tambem nao eh dificil. Seja d a funcao distancia em X. Como X eh totalmente limitado, podemos cobri-lo com uma colecao finita de bolas abertas de raio 1. Dentre estas bolas, podemos escolher uma, B_1, que contem termos x_n para uma infinidade de indices n (se todas as bolas contivessem x_n para um numero finito de indices n, o mesmo se verificaria para a sua uniao, de modo que a colecao destas bolas nao cobriria a totalidade de X). Sendo I_1 o conjunto dos indices n para os quais x_n pertence a B_1, temos entao que I_1 eh infinito. De forma indutiva, suponhamos escolhidas bolas abertas B_1,...B_m, de raios 1,....1/m, tais que o conjunto I_m, dos indices n para os quais x_n pertence a B_1 inter ....B_m, seja infinito. Cobrindo-se X com uma colecao finita de bolas de raio 1/(m+1), podemos, com base no mesmo argumento anteriormente apresentado, escolher uma, B_(m+1), tal que I_(m+1) seja infinito. Isto completa a inducao e demonstra existir uma sequencia (B_m), de bolas abertas de raio 1/m, tal que os respectivos conjuntos I_m sao infinitos. Em I_1, escolhamos um indice n_1 (I_1 eh infinito, logo nao eh vazio); em I_2, escolhamos um indice n_2 > n_1 (eh possivel, pois I_2 eh infinito). Prosseguindo-se indutivamente, geramos uma subsequencia x_n_k de x_n tal que, para cada k, x_n_k pertence a B1 inter ...B_k. Como (B_1 inter B2 inter ....B_m) eh uma sequencia de conjuntos encaixados, para todos i,j>=k temos que x_n_i e x_n_j estao em B_1 inter B2 inter ....B_k <= B_k e que, em razão disto, d(x_n_i, x_n_j) < 2/k. Dado eps >0, podemos escolher k >= 2/eps e teremos d(x_n_i, x_n_j) < eps para todos i,j>=k. Temos, portanto, que x_n_k e uma subsequencia de Cauchy. Nesta demosntração, recorremos varias vezes o Axioma da Escolha. (De uma conferida na demonstracao, ando tomando uns remedios que prejudicam o raciocinio e posso estar confundindo bola aberta com bola de sinuca)
(2) A reciproca nao eh verdadeira. Como contra-exemplo, temos qualquer sequencia x_n em R^m que seja limitada mas nao convergente, como (sen(n)). O conjunto {x_n} eh limitado e, portanto, totalmente limitado (em R^m, todo conjunto limitado eh, automaticamente, totalmente limitado). Mas como x_n nao eh convergente e R^m eh completo, x_n nao eh de Cauchy. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Sandra Enviada em: segunda-feira, 30 de maio de 2005 12:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Espacos metricos Oi pessoal, Gostaria de uma ajuda com as seguintes demonstracoes: (1) Um espaco metrico X eh totalmente limitado se, e somente se, toda sequencia de X contiver uma subsequencia de Cauchy. Por contraposicao eu consegui demonstrar a parte "se", mas estou me perdendo um pouuco na parte "somente", isto, se X eh totalmente limitado, entao toda sequencia de X contem uma sequencia de Cauchy. (2) Se x_n eh uma sequencia de Cauchy em um espaco metrico, entao o conjunto {x_n} eh totalmente limitado. Esta demonstracao nao eh dificil, basta considerar as definicoes. Mas estou na duvida se a reciproca eh verdadeira. Obrigada Sandra _______________________________________________ Join Excite! - http://www.excite.com The most personalized portal on the Web! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================