Cláudio, Daniel, outros, Consegui encontrar vários contra-exemplos para esse problema. Sendo comb(a,b) o número de combinações de a elementos tomados b a b, ou comb(a,b)=a!/((a-b)!b!), pede-se mostrar que comb(a^c,b)=0(mod a), para c>=2, a^c>b. Entretanto:
comb(6^2,4) = 3 (mod 6) comb(22^2,4) = 11 (mod 22) comb(6^3,8) = 3 (mod 6) comb(6^2,9) = 4 (mod 6) comb(12^2,9) = 4 (mod 12) comb(10^2,25) = 4 (mod 10) comb(6^3,27) = 2 (mod 6) comb(33^2,121) = 9 (mod 33) comb(21^3,343) = 6 (mod 21) Pode ser que eu tenha errado alguma coisa na hora de programar o computador para fazer as contas, mas pelo menos o primeiro exemplo eu conferi na mão. Eu não achei esses números ao acaso. Em todos eles, sendo a = p*q, com p e q primos, eu fiz b = p^c e escolhi um q que desse problema. Abraços, Maurício > Interessante! Dei uma olhada no livro que estou estudando e ele menciona essa fórmula (...) > > Um jeito mais fácil é usar a velha e, espero, conhecida fórmula para o expoente de p em n!, igual a > > [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + .... > > O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k) (1 <= k <= p^m - 1) é: > > [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] + > > (...) > > A partir dessas duas desigualdades é fácil concluir que o expoente de p no numerador é estritamente maior do que o expoente de p no denominador, de modo que p divide Binom(p^m,k). > > > > []s, > > Claudio. > > > Oi, Maurício, > > > é possível resolver essa como aplicação imediata do teorema de lucas, que é o seguinte: > > > (...) > > > Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais > > elementar deste fato... > > > > > > []s, > > > Daniel > > > > > > > Oi, pessoal, > > > > > > > > Estou em cima desse exercício de teoria dos números faz tempo e não cheguei a nada, alguém tem alguma dica? > > > > (...) __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
