Claudio como a sua desigualdade nao é estrita acho que podemos apenas
afirmar que é estavel e nao assintoticamente estavel.
Agora eu fiquei realmente na duvida pq vc pegou a apresentou
V(x,y) = x^2 + y^2
e a estabilidade foi estavel
e eu apresentei
V(x,y) = by^2
e a estabilidade foi assintoticamente estavel.
Agora eu nao sei mais como decidir.
Estou usando este teorema:
Seja y0 um ponto de equilibrio do sistema de eq. dif
Sejam U C M aberto tal que y0 pert U e V : U -> R de classe C^1.
Suponha que V satisfaz
i) V(y) > V(y0) qq y pert U, y =! y0,
ii) V'(y) := Jacobiano[V(y)].F(y) < 0, qq y pert U, y =! y0
Entao y0 é assintoticamente estavel segundo Liapunov
claudio.buffara wrote:
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "obm-l" [email protected]
Cópia:
Data: Tue, 28 Jun 2005 11:58:23 -0300
Assunto: [obm-l] sistemas dinamicos
> Olá pessoal, estou estudando aspectos basicos de sistemas dinamicos
em um curso de eq. diferenciais que estou
> fazendo.
> Por falta de referencias aqui em casa estou com uma duvida
aparentemente boboca e esta dificil achar alguma
> resposta pelo google.
> Bom, é pedido para se estudar a estabilidade do equilibrio (0,0) do
sistema
> x' = y - x*f(x,y)
> y' = -x - y*f(x,y)
> onde f é C infinito, f(0,0) = 0, e f >= 0 numa vizinhanca da origem.
>
> Bom, começei inocentemente analisando o sistema linearizado, porem
como os autovalores resultantes são
> imaginarios puros nao podemos concluir com certeza nada.
>
> Fui então em busca de uma funcao de Liapunov.
> Chutei V(x,y) = a*x^2 + b*y^2 com a e b ambos nao nulos.
> Bom, fazendo as continhas
> V' = 2a(xy - f(x,y)*x^2) - 2b(xy + f(x,y)*y^2)
> Agora a conclusao:
> Como f >= 0 numa vizinhanca da origem, para x e y positivos e
suficientemente pequenos (ou proximos da origem),
> basta tomar a= 0 e b > 0 e com isso
> V' = -2b(xy + f(x,y)*y^2) < 0, pq qq x,y nesta vizinhança.
> logo, a origem é assintoticamente estavel segundo liapunov.
>
> Gostaria de saber se esta abordagem esta correta já que fiz às cegas,
não tenho nenhum exemplo resolvido por
> perto para dar uma sapiada.
>
> Tambem pergunto onde entra a hipotese que f(0,0) = 0. Para a
linearizacao ela é até util mas nao vi motivo para
> usa-la no uso de funcoes auxiliares.
>
> Obrigado
>
> Niski
>
Oi, Niski:
Eu não manjo nada de sistemas dinâmicos, mas vou dar um pitaco mesmo
assim...
Minha idéia é ver o que acontece com U = x^2 + y^2 = quadrado da
distância à origem a medida que o tempo passa, para (x,y)
suficientemente próximo da origem (de modo que f(x,y) >= 0).
dU/dt = 2xx' + 2yy' = 2xy - 2x^2f(x,y) - 2xy - 2y^2f(x,y) =
-2(x^2+y^2)f(x,y) <= 0, pois f(x,y) >= 0.
Assim, concluímos que dU/dt <= 0, ou seja, o sistema não se afasta da
origem e pode realmente se aproximar quando f(x,y) > 0.
É isso que se chama de sistema assintóticamente estável?
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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