Eh sim, mas na realidade o enunciado do problema estava mesmo correto. Se A tem medida nula, entao para qualquer B, A X B tem medida nula, mesmo que B nmao seja mensuravel. Eh o caso da sigma-algebra completa.
Abracos Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE > definir uma funçao > medida para todos os subconjuntos de R (portanto > pode esquecer R^n), > pois existe um jeito (utilizando o Axioma da > Escolha) de construir um > conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva. > A idéia principal > é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em > conjuntos que tem > que ter a mesma medida. Para criar esta > decomposiç~ao, você utiliza o > Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo > disto. > > Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma > coisa bem legal, e > lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja, > aquelas para as quais > X tem medida nula => todo Y contido em X está na > sigma-álgebra e > também - por estar contido em X, nao poderia ser > diferente - tem > medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram, > A x R^m tem medida > nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B > contido em A x R^m, > e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que > contém os abertos > de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida > zero. Esta > demonstraçao está contida na que você deu (bastando > notar que B está > contido em alguma uniao enumerável dos Q_i). > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > On 7/6/05, Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Oi Artur, > > Consegui fazer algo parecido, embora mais > elementar, > > pois nao conheco muita coisa deste assunto: para > cada > > ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um > cubo > > unitario com centro neste ponto. Fixemo s um > destes > > cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh > > dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De > > resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos > > AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula. > > PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido > para > > qq subconjunto de Rn. > > > > Tertuliano > > > > --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > > > Na realidade, esta demonstracao poderia ser um > > > pouquinho mais simples do que > > > a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de > > > paralelepipedos abertos e > > > limitados para conjuntos genericos limitados, > > > poderiamos ter invocado > > > diretamente a sigma-subaditividade da medida. > Antes > > > de apresentar a prova, > > > uma observacao de um fato sutil que me passou > > > desapercebido. O enunciado > > > deveria dizer que B eh um conjunto qualquer > > > MENSURAVEL de R^n, pois nem todo > > > subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a > medida de > > > Lebesgue). No caso, B > > > teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel, > > > gerada pelos conjuntos > > > abertos de R^n > > > > > > A prova poderia ser assim: > > > > > > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um > > > paralelepipedo limitado e aberto > > > de R^n de hipervolume > > > V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, > para > > > todo eps>0 podemos > > > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de > > > paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada > um > > > com hipervolume V_k, tal > > > que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos > > > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel > de A > > > X P por paralelepipedos > > > abertos de R^(m+n). O > > > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k > * V > > > = V * Soma(k>=1)V_k < > > > V * eps/V = eps. Como eps eh > > > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula > em > > > R^(m+n). > > > > > > O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma > > > colecao enumeravel (nao > > > precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de > paralelepipedos > > > abertos de hipervolume > > > 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel > > > (nao necessariamente > > > disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida > nula e > > > cada Q_k eh um > > > paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao > > > anterior nos mostra que cada A > > > X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a > > > sigma-sub-aditividade da medida, > > > concluimos que A X R^n tem medida nula. E > valendo > > > esta conclusao para o caso > > > B = R^n, segue-se que vale automaticamente para > > > qualquer subconjunto > > > MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em > A X > > > R^n e subconjuntos > > > mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos. > > > > > > A sigma-sub-aditividade da medida eh a > propriedade > > > segundo a qual se {A_n} > > > eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos > > > mensuraveis e A eh a uniao desta > > > colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n), > > > entendendo-se esta desigualdade no > > > sistema dos reais expandidos. Se a colecao for > > > disjunta 2 a 2, ocorre > > > igualdade. > > > > > > Artur > > > > > > > > > > > > --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > > > > Oi para todos! > > > > Alguem pode me ajudar neste? > > > > > > > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em > Rm > > > um > > > > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula. > > > > > > > > Grato, > > > > Tertuliano > > > > > > > > > __________________________________________________ > > > > Converse com seus amigos em tempo real com o > > > Yahoo! > > > > Messenger > > > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e > > > > usar a lista em > > > > > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > > > > > > __________________________________________________ > > > Do You Yahoo!? > > > Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam > > > protection around > > > http://mail.yahoo.com > > > > > > ========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > > usar a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > ========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > > usar a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > > > > > > > > > > _______________________________________________________ > > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. > > Instale o discador agora! > http://br.acesso.yahoo.com/ > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________ Discover Yahoo! Use Yahoo! to plan a weekend, have fun online and more. Check it out! http://discover.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================