Voce talvez nao tenha entendido a minha colocacao... A trigonometria acaba ao se descobrir que o produto e igual a soma. Depois disso, e Teoria dos numeros. Pondo de outra forma: quantos pontos, de no maximo 10, voce daria para quem nao resolveu a parte do x+y+z=xyz mas chegou nas tangentes? Eu nao daria mais que 4.5
--- Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Obrigado , mas acho que vc não analisou direito esta > questão e perceba que ela é sim de trigonometria!!! > Valeu e um abraço > > Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ue, pelo menos um dos caras nao e maior que 2 ( o > caso > do 1 ai escrito, e do 2, que nao e maior ue 2 pois e > igual...). > E alias vamos fazer logo isso antes que nao de mais! > > Temos 1/xy+1/xz+1/yz=1. Se xy=c, xz=b, yz=a, temos > 1/a+1/b+1/c=1 > Suponha a>=b>=c. Entao se c>=4, temos > 1/a+1/b+1/c<=3/4<1, absurdo! > Logo c<=3 > Ai e so testar! > > *c=3 > 1/a+1/b=2/3 > Se b>=4 entao 1/a+1/b <= 2/4 = 1/2 < 2/3, nao da! > Entao b<=3 > Mas 3=c<=b<=3, o que da b=c=3 > E (a,b,c)=(3,3,3) da certo. > > *c=2 > Ai 1/a+1/b=1/2 > E entao b<=4 > > Testa de novo! > **b=4 > 1/a=1/4 e ai a=4, (a,b,c)=(4,4,2) > > **b=3 > 1/a=1/6 > (a,b,c)=(6,3,2) > > **b=2 > 1/a=0. Nao da! > > c=1, nao serve! > > Ai e so transformar cada a,b,c em x,y,z: > > (xy,xz,yz)=(3,3,3) (xyz)^2=27 > (xy,xz,yz)=(4,4,2) (xyz)^2=32 > (xy,xz,yz)=(6,3,2) (xyz)^2=36=6^2 > > > > A primeira nao serve (3 nao e quadrado perfeito). > A segunda tambem nao... > > Ja temos entao xyz=6, e agora sem dificuldade > comclui-se que a solucao apresentada anteriormente e > unica (alias e exatamente a solucao que voce achou e > satisfaz uma porrada de requisitos adicionais...) > > > P.S.: Como eu ja desconfiava este problema nao tem > nada de trigonometria! > > --- Jefferson Franca > escreveu: > > > E se tivermos, por exemplo, X = 3, Y= 2 e Z = 1 ? > > > > Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > > > escreveu:tg C= tg > > A + tg B/ 1- tg A. tgB > > tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B > > tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C > > > > Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que > > XYZ=X+Y+Z, o problema acaba. > > > > Isto e algo facil de resolver, e prova que a > solucao > > e > > mesmo unica. > > Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos > um > > dos caras X,Y,Z e no maximo 2. > > > > --- Jefferson Franca > > escreveu: > > > > > Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja. > > > > > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que > > 2, > > > ou seja, > > > tg A = 2 + x > > > tg B = 2 + y (x,y >0) > > > > > > A + B + C = 180 > > > A + B = 180 -C > > > tg (A + B ) = - tg C > > > tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + > 2(x+y) > > > +xy) > > > = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy) > > > > > > tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy) > > > > > > Teremos que tg C > 2 <=> > > > 4 + x + y > 6 + 4x + 4y + 2xy > > > <=> 2 + 3x + 3y + 2xy<0 > > > Como por hipótese, x e y sao positivos , essa > soma > > > nunca é negativa > > > ou seja, nunca vale que tg C > 2 > > > > > > ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior > que > > 2 > > > (simultaneamente) > > > > > > > > > > > > Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é > unica! > > > > > > > > > > > > > > > > > > '>'-- Mensagem Original -- > > > '>'Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700 > > > '>'From: Marcio > > > > > > '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > '>'Subject: Re: [obm-l] trigonometria > > > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > '>' > > > '>' > > > '>'On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson > > > Franca > > > '>' wrote: > > > '>' > > > '>'> Será que alguém já viu esta questão ou tem > > > alguma idéia de como resolver > > > '>' > > > '>'> ? > > > '>'> Sejam a ,b e c ângulos internos de > > umtriângulo > > > e, supondo que as > > > > > > '>'> tangentes dos três ângulos sejam números > > > inteiros e positivos, calcule > > > '>' > > > '>'> essas tangentes. > > > '>'> Valeu > > > '>'> > > > '>'> > > > > __________________________________________________ > > > '>'> Converse com seus amigos em tempo real com > o > > > Yahoo! Messenger > > > '>'> http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > '>' > > > '>' > > > '>' > > > '>'-- > > > '>'Using Opera's revolutionary e-mail client: > > > http://www.opera.com/mail/ > > > '>' > > > '>'Oi, Jefferson. > > > '>' > > > '>'Se não errei nada, aqui vai. > > > '>' > > > '>'Ângulos: a, b e c > > > '>' > > > '>'a + b + c = 180 => tg(a + b + c)= tg 180, ou > > > seja, tg(a + b + c) = 0 > > > '>' > > > '>'Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0. > > > '>' > > > '>'No final das contas, chega-se a > > > '>' > > > '>'tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c) > > > '>' > > > '>'Como as tangentes são números inteiros e > > > positivos, uma opção (não sei > > > se > > > '>' > > > '>'única) é > > > '>' > > > '>'tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3 > > > '>' > > > '>' > > > '>'[]s, > > > '>' > > > '>'Márcio. > > > > > > '>'========================================================================= > === message truncated === _______________________________________________________ Yahoo! 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