Perguntaram qual é o domÃnio da função x^(1/3). O domÃnio "deveria" ser IR, mas
foi notado que alguns softwares não produzem o gráfico "completo" da forma
esperada. De fato, os softwares Winplot (gratuito) e Mathematica são dois
exemplos desse comportamento aparentemente estranho: nesses programas, o
gráfico de y=x^(1/3) é uma curva sobre o semi-eixo não-negativo dos x -- dando
a entender que x^(1/3) não é um número real se x<0. Mas não parece razoável
dizer que, por exemplo, (-1)^(1/3)=-1?
Tudo depende da DEFINIÇÃO geral de "raiz" adotada nesses softwares. Dados x em
IR e n em IN-{0}, temos DUAS definições de x^(1/3), as quais, para fins
didáticos, chamo de "convenção real" e "convenção complexa". De acordo com a
convenção real, x^(1/n) é sempre um número real quando x>=0 ou (x<0 e n é
Ãmpar). A convenção complexa coincide com a real para x>=0; para x<0, x^(1/n) é
sempre um número complexo não-real. Nestes termos, podemos dizer que o Winplot
e o Mathematica utilizam a convenção complexa. Exemplos de softwares que
utilizam a convenção real: Excel, GrafEq e DPGraph.
As definições são as seguintes:
Definição 1 (convenção real) se x>=0, então x^(1/n) é o y em IR tal que y>=0 e
y^n=x; se x<0 e n é Ãmpar, então x^(1/n) é o y (<0) em IR tal que y^n=x.
Definição 2 (convenção complexa) se z é um número complexo qualquer, então
z^(1/n) é o número complexo w de menor argumento no intervalo ]-pi,pi] tal que
w^n=x. Uma versão do Teorema de De Moivre fornece a seguinte expressão
trigonométrica para a raiz: z^(1/n)=abs(z)^(1/n)[cos(Arg z/n)+i*sen(Arg z/n)].
Esta definição requer uma discussão cuidadosa de certos casos preliminares. Em
essência, está-se lidando aqui com um problema de EXTENSÃO de funções ao plano
complexo. Para que a definição não pareça circular, devemos especificar o
significado de (z)^(1/n) quando z>=0 (que é o tradicional) e definir
(-1)^(1/2)=i.
Nesta última definição, tem-se ainda uma outra convenção: a escolha do
argumento (principal). Uma escolha alternativa para o intervalo do argumento é
[0, 2pi). Uma discussão mais aprofundada dessas "escolhas" -- visando
eliminá-las ou uniformizá-las -- leva ao estudo das superfÃcies de Riemann
(assunto que normalmente é tratado num segundo curso de "variáveis complexas"
em muitas universidades).
Exemplo 1 Pela convenção real, (-1)^(1/3)=-1. Se usarmos a convenção complexa,
então (-1)^(1/3)=1/2+i*3^(1/2)/2.
Exemplo 2. O Mathematica utiliza a convenção complexa por padrão. Neste
software, obtemos a igualdade (-1)^(1/3)=1/2+i*3^(1/2)/2 com o comando
ComplexExpand[(-1)^(1/3)].
Exemplo 3. Em softwares que utilizam a convenção real, o gráfico de y=x^(1/n),
para n Ãmpar, é uma curva contÃnua sobre a reta inteira (ou, mais precisamente,
sobre qualquer intervalo limitado da reta -- já que não é possÃvel visualizar o
gráfico "por inteiro").
Exemplo 4. Em softwares que utilizam a convenção complexa, o gráfico de
y=x^(1/n), para n Ãmpar, apresenta apenas o ramo direito da curva do Exemplo 2.
Para obter a curva "inteira" (como na convenção real), pode-se fazer o gráfico
de y= sgn(x)*abs(x)^(1/n).
Carlos César de Araújo
Gregos & Troianos Educacional
www.gregosetroianos.mat.br
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(31) 3283-1122
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