Estou enviando agora os problemas do segundo dia. Ainda nao sei como os meninos foram pq desde depois do almocco eles estao na prova por equipes e nem chegaram a voltar pro hotel.
O problema 5 é do Brasil (meu e do Davi). =)) PROBLEMA 4 Dados dois inteiros positivos a e b, denota-se por (a mod b) o resto da divisao de a por b, que é um dos números 0,1, ..., b-1. Determine todos os pares de números (a,p) tais que p é primo e (a mod p) + (a mod 2p) + (a mod 3p) + (a mod 4p) = a + p. PROBLEMA 5 Seja O o circuncentro de um triangulo acutangulo ABC e A_1 um ponto do arco menor BC da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC. Sejam A_2 e A_3 pontos dos lados AB e AC, respectivamente, tais que vale a igualdade de angulos BA_1A_2 = OAC e CA_1A_3 = OAB. Demonstre que a reta A_2A_3 passa pelo ortocentro do triangulo ABC. PROBLEMA 6 Dado um inteiro positivo n, num plano consideram-se 2n pontos alinhados A_1, A_2, ..., A_2n. Pinta-se cada ponto de azul ou vermelho de acordo com o seguinte procedimento: no plano dado sao traccadas n circunferencias disjuntas duas a duas, com diametros de extremos A_i e A_ j. Cada A_k, 1 <= k <= 2n, pertence exatamente a uma circunferencia. Os pontos sao pintados de modo que dois pontos de uma mesma circunferencia ficam com a mesma cor. Determine o numero de coloraccoes distintas dos 2n pontos que se podem obter ao variar as n circunferencias e a distribuiccao das duas cores. Abraccos, Yuri -- Mensagem original -- >Oi pessoal, > >Estou trazendo notícias da Ibero. > >Nossa viagem foi um pouco complicada. Qdo chegamos no aeroporto de Guarulhos >descobrimos que nosso voo, que partiu de RJ, teria uma troca para uma aeronave >menor, e isso causou um overbooking enorme. > >Entao todos que partiam de SP, eu, Gabriel, Thiago e Rafael, tivemos que >arranjar outros voos. O Thomaz acabou indo no voo certo, pq saiu de RJ. > >Nós fomos para Santiago, dormimos lá, e no outro dia seguimos viagem para >Bogotá, e por fim Cartagena. Pelo menos íamos chegar um dia antes, entao >todos puderam descansar bem. > >Sobre a prova: o 1o dia foi ontem, e o 2o está acontecendo nesse instante. >Segue abaixo a prova de ontem: > >PROBLEMA 1 >Determine todas as ternas de números reais (x,y,z) tais que >xyz = 8 , >x^2y + y^2z + z^2x = 73 , >x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 = 98. > >PROBLEMA 2 >Uma pulga salta sobre pontos inteiros da reta numérica. Em seu primeiro >movimento ela salta do ponto 0 ao ponto 1. Em seguida, se em um movimento >ela salta do ponto A e cai no ponto B, entao no proximo movimento ela salta >do ponto B e cai em um dos pontos >B + (B-A) - 1 , B + (B-A) , B + (B-A) + 1 . > >Mostre que se a pulga caiu duas vezes sobre o ponto n, n inteiro positivo, >entao ela fez pelo menos t movimentos, onde t é o menor inteiro maior ou >igual a 2.n^(1/2). > >PROBLEMA 3 >Seja p>3 um primo. Se >\sum_{i=1}^{p-1} 1/(i^p) = n/m, > >onde mdc(n,m)=1, mostre que p^3 divide n. > >Como foram os meninos: parece que todos fizeram o 1 e 3 bem rápido, e ficaram >o resto da prova no 2. O Gabriel e Rafael conseguiram fazer, o Thomaz acho >que chegou relativamente perto e o Thiago nao fez muita coisa. > >Hj comecaremos a correccao. Qto já tivermos algo certo enviaremos pra vcs. > >Abraccos, > >Yuri > > > >Até mais, > >Yuri > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > Até mais, Yuri ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================