A sua enumeracao burra dos racionais foi uma ideia bem inteligente. Eu soh acho que falta um arremate final para completar a prova.
Vc mostrou que a colecao dos intervalos com centros fora de J nao cobre R - J. Isto eh decorrencia do fato de que a medida total desta colecao eh finita, enquanto que a de R - J eh infinita. Como conjuntos de medida finita nao podem cobrir conjuntos de medida infinita, temos que a colecao dos intervalos centrados em elementos fora de J nao cobre, por exemplo (3, inf). Por outro lado, vemos que a uniao dos intervalos centrados em elementos de J estah contida em (-2, 2), que nao intersecta (3, inf). Isto mostra que a uniao de todos os intervalos, ou seja, o conjunto I, de fato nao cobre a totalidade de R. Obrigado pela solucao. Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Só como "palpite": tome x_n = 1/n, a série > harmônica, que diverge. Mas > agora suponha que a sua enumeraçao dos racionais é > "burra" no seguinte > sentido: ela inclui os números numa ordem bastante > particular: > Seja J o intervalo (-1,1); ela inclui um número de > J, outro fora de J, > três de J, um fora de J, cinco de J, um fora de J, > ..., 2n+1 de J, um > fora de J, 2n+3 de J, um fora de J, .... Bom, os > termos dentro de I > nao me interessam, mas os que estao fora formam uma > subseqüência y_n > cujos índices sao (n^2 + n), e portanto Soma(y_n) > converge. Pelo seu > problema (que eu deixo pra outra pessoa resolver :) > ), temos em (R \ > I) que Uniao (intervalos com centro fora de J) é um > subconjunto > próprio de (R \ I). > > Mas ainda espero uma caracterizaçao melhor... > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > On 10/17/05, Artur Costa Steiner > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > O problema a seguir talvez fosse mais desafiador > se nao tivesse ainda havido > > esta discussao sobre conjuntos com interior vazio > e medida positiva. Apos > > esta discussao, a solucao eh bem obvia: > > > > Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) > uma sequencia de termos > > reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I > = Uniao (I_n). Entao, I > > eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) > convegir, entao I eh um > > subconjunto proprio de R. > > > > Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda > assim eh possivel termos I > > como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R > eh sem duvida possivel. > > Isto > > certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n > = r >0 para todo n, sendo > > r constante. Estou analisando esta sitauacao, em > que Sona (x_n) diverge. > > > > Artur > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________ Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
