Estes sao fatos classicos da Analise. Se f for definida em um intervalo I de R e tiver inversa, entao, pela definicao de inversa, temos que f eh uma bijecao de I sobre f(I). Suponhamos que, alem disto, f seja continua. Se f nao for estritamente crescente ou decrescente, entao em Item que existir elementos x1 < x2 < x3 tais que f(x1) < f(x2 < f(x3) ou f(x1) > f(x2) > f(x3). A continuidade de f implica que f apresente a propriedade do valor intermediario, a qual, por sua vez, implica a existencia de x' em (x1, x2) e x'' em (x2, x3) tais que f(x') = f (x''). Isto, porem, contraria o fato de que f eh uma bijecao de I sobre f(I).
Para mostramos que se f eh diferenciavel em um ponto de acumulacao a de seu dominio entao f eh continua em a, a prova que me parece a mais simples e que eh apresentada em varios livros eh a seguinte: Para x<>a num intervalo aberto contendo a, temos que f(x) - f(a) = (f(x) - f(a))/(x-a) * (x-a). Quanfo x -> a, x - a -> 0. E pela diferenciabilidade de f em a, segue-se da definicao de derivada que (f(x) - f(a))/(x-a) -> f'(a). Considerando-se agora a existencia destes dois limites, temos (propriedade basica dos limites de funcoes) que lim (x->a) (f(x) - f(a)) = lim (x - a) (f(x) - f(a))/(x-a) * lim (x-> a) (x -a) = f'(a) * 0 = 0. Mas isto significa que lim (x->a) f(x) = f(a), ou seja, f eh continua em a. Interessante que este mesmo raciocinio aplica-se a funcoes dos complexos nos complexos. Ahlfors apresenta esta mesma prova em seu livro sobre Analise Complexa. A unica mudanca eh que, em vez de um intervalo ao redor de a, considera-se uma vizinhanca - um disco, por exemplo - ao redor de a. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de David Cardoso Enviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 18:09 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] inversa = derivada > Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh > estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois > eh diferenciavel. > Artur Poderia demonstrar essa parte também? Grato, David ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================