Pelo teorema da divergência (ou de Gauss), a integral tripla de div F sobre um volume V é igual à integral dupla de F escalar n sobre a superfície S que limita o volume V.
Vamos então tomar, por exemplo, F = 1/3 * (x,y,z), pois assim temos div F = dF/dx + dF/dy + dF/dz = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 (onde "d" representa o simbolo de derivada parcial). Então se calcularmos a integral tripla de divF sobre o volume da esfera, estaremos calculando a integral tripla de "1" sobre o volume da esfera, que dá exatamente o volume da esfera.
Então (vou usar "I" para representar o simbolo da integral): III divF dV = II F.n dS
A normal (unitária) em cada ponto da esfera é: n(x,y,z) = (x,y,z) / sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
=> F . n = 1/(3*sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) * (x,y,z) . (x,y,z) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) / 3
Queremos então calcular o volume V da esfera:
V = II 1/3 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) dS
Como estamos calculando numa esfera, x^2 + y^2 + z^2 é constante e vale R^2. Então:
V = II R / 3 dS = R / 3 * II dS
Aqui está o cálculo do volume da esfera com uma integral dupla... (porque raios alguem faria isso, e não uma integral tripla que seria bem mais rápido? bom, nao sei, como já disse, nao estudei isso direito ainda)
Mas II dS = 4piR^2, pois a superfície é uma esfera e essa integral dupla representa a área dessa superfície.
Então V = 4/3 pi R^3
meu deus... que coisa horrivel!
Abraço!
Bruno
On 12/12/05, Jan Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Senhores,Alguém pode ajudar?Questão: Mediante integral dupla calcule o volume da esfera tridimensional de raio R>0.
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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0