On Sat, Feb 18, 2006 at 08:19:18AM -0800, Felipe Nobili wrote: > seja x um numero tal que x/pi é irracional > > a sequencia tg(nx)/n converge?
Depende de x: em muitos casos sim, em muitos casos nao. Para todo irracional, no caso 2x/pi, existem infinitas boas aproximacoes por racionais: para uma constante C, temos |2x/pi - m/n| < C/n^2 (para infinitos pares (m,n)) donde |nx - m pi/2| < C'. Para alguns irracionais, este eh o melhor tipo de aproximacao que existe, ou seja, podemos ter |2x/pi - m/n| > D/n^2 para alguma constante D e para todo n suficientemente grande: isto acontece por exemplo para irracionais da forma c+d sqrt(e) onde c, d, e sao inteiros e e>1 eh livre de quadrados. Se isto acontecer teremos |nx - m pi/2| > D' donde tan(nx) eh limitada donde a sequencia converge para 0. Por outro lado, alguns irracionais admitem aproximacoes muito melhores. Digamos que 2x/pi admita infinitas aproximacoes com |2x/pi - m/n| < C/n^4 para infinitos pares (m,n) com m impar. Neste caso teremos para estes pares |nx - m pi/2| < C'/n^2: perto de m pi/2, m impar, temos tan(nx) ~= +- 1/|nx - m pi/2| donde temos |tan(nx)/n| > n/C', ilimitado e portanto divergente. Para entender isso tudo mais a fundo vc deve estudar numeros diofantinos, numeros de Liouville e fracoes continuas (ou continuadas). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
