On Mon, Mar 06, 2006 at 04:45:21PM -0300, filipe junqueira wrote: > Nicolau Saldanha escreveu sobre uma demonstração duma expressão que > envolvia os numeros da sequencia do fibo. Citou uma expressão em que F(n)= > a^n - b^n/sqrt5 : a=(1+sqrt5)/2 e b=(1-sqrt5)/2. GOstaria de saber como > demonstrar ou de onde vem essa expressão que define f(n)?!!!
A expressão correta é F(n) = (a^n - b^n)/sqrt(5). Note que a^2 = a + 1, b^2 = b + 1. Vamos primeiro verificar que qualquer seqüência da forma g(n) = C a^n + D b^n (onde C e D são constantes) satisfaz a relação g(n+2) = g(n+1) + g(n). De fato, basta expandir: g(n+2) = C a^(n+2) + D a^(n+2) = C a^n a^2 + D b^n b^2 = C a^n (a + 1) + D b^n (b + 1) = C a^(n+1) + C a^n + D b^(n+1) + D b^n = (C a^(n+1) + D b^(n+1)) + (C a^n + D b^n) = g(n+1) + g(n). Agora, tomando C = 1/sqrt(5) e D = -1/sqrt(5) podemos verificar que g(0) = C + D = 1/sqrt(5) - 1/sqrt(5) = 0, g(1) = C a + D b = (1+sqrt(5))/(2 sqrt(5)) - (1-sqrt(5))/(2 sqrt(5)) = (sqrt(5)+5-sqrt(5)+5)/(2*5) = 10/10 = 1. Assim, g(0) = F(0), g(1) = F(1). Podemos provar por indução que g(n) = F(n) para todo n: g(n+2) = g(n+1) + g(n) = F(n+1) + F(n) = F(n+2). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================